离散型随机变量的均值+高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册.pptx

6.3.1离散型随机变量的均值

1.通过实例理解离散型随机变量均值的含义，了解随机变量的均值与样本均值的区别与联系.

2.能计算简单离散型随机变量的均值.

已知在10件产品中有2件不合格品.从这10件产品中任取3件，用X表示取得产品中的不合格品的件数.可求得X的分布列如表:

k

0

1

2

P(X＝k)

取3件该产品时，平均会取到几件不合格品？如何计算呢？

情境有12个西瓜，其中有4个质量是5kg，3个质量是6kg，5个质量是7kg，求这12个西瓜的平均质量.

思考：类似的，如何求解前面“取不合格品的问题”的平均取值呢？

③式表示，在一次的抽取中，3件产品中平均有0.6件是不合格品.

k

0

1

2

P(X＝k)

设离散型随机变量X的分布列如表:

X

x1

x2

…

xi

…

xn

P

p1

p2

…

pi

…

pn

为随机变量X的均值或数学期望（简称期望）.

注意：

(1)均值EX刻画的是X取值的“中心位置”，反映了离散型随机变量X取值的平均水平，是随机变量X的一个重要特征.

(2)两个不同的分布可以有相同的均值.

(3)均值EX是随机变量X取各个值的加权平均，由X的分布列完全确定.

(4)而均值只是刻画了随机变量取值的“中心位置”这一重要特征，并不能完全决定随机变量的性质.

思考：随机变量的均值与样本均值的联系与区别是什么？

区别：随机变量的均值是一个确定的数，而样本均值具有随机性，它围绕随机变量的均值波动.

联系：随着重复试验次数的增加，样本均值的波动幅度一般会越来越小.常用随机变量的观测值的均值去估计随机变量的均值.

例1:袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球记2分，取到一只黑球记1分，试求得分ξ的数学期望.

解：取出4只球颜色分布情况是：4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，相应的概率为

随机变量ξ的分布列为

ξ

5

6

7

8

P

求离散型随机变量X的均值的步骤：

(1)确定取值：根据随机变量X的意义，写出X可能取得的全部值；

(2)求概率：求X取每个值的概率；

(3)写分布列：写出X的分布列；

(4)求均值：由均值的定义求出E(X).

思考1：已知随机变量X服从参数为p的两点分布，求E(X).

解：随机变量X服从参数为p的两点分布，其分布列如下

X

1

0

P

p

1-p

所以E(X)=1×p+0×(1-p)=p.

思考2：若X，Y都是离散型随机变量，且Y＝aX＋b(其中a，b是常数)，那么E(Y)与E(X)有怎样的关系？

例2:“双11”网上购物节期间，某电商平台销售了一款新手机，现在该电商为调查这款手机使用后的“满意度”，从购买了该款手机的顾客中抽取20人，调查结果显示，只有3人“非常满意”.从这20人中随机抽取3人做采访，记这3人中对该款手机“非常满意”的人数为X．

(1)求X的分布列；

(2)若被抽取的这3人中对该款手机“非常满意”的被采访者将获得100元话费补贴，其他被调查者将获得40元话费补贴，求这3人将获得的话费补贴总额的期望．

0

1

2

3

0

1

2

3

解：设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则X1，X2的分布列如下．

X1

0

2

4

P

X2

0

3

6

P

1.在一个不透明的纸袋里装有5个大小相同的小球，其中有1个红球和4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，则摸球次数X的均值=.

2.有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，用X表示取到次品的个数，则E(X)=.

3

3.已知某一随机变量X的分布列如表所示，若EX＝6.3，则a的值为()

A.4 B.5 C.6 D.7

X

a

7

9

P

b

0.1

0.4

A

根据今天所学，回答下列问题：

1.随机变量的均值与样本均值的联系与区别是什么？

2.求离散型随机变量均值的步骤分为哪几步？