第01讲 函数的旋转、两函数的对称问题与不动点问题（原卷版）_1.docx

第1讲函数的旋转、两函数的对称问题与不动点问题

【方法技巧与总结】

1、不动点与稳定点

【一阶不动点】对于函数，定义域为，如果存在，使得，则称是函数的一阶不动点，简称不动点．

①不动点是方程的解

②不动点是与图像交点的横坐标

【二阶周期点】对于函数，定义域为，如果存在，使得且，则称为函数的二阶周期点

①二阶周期点是方程组的解

②二阶周期点是图像上关于对称（不在上）的两点的横坐标

【二阶不动点】对于函数，定义域为，如果存在，使得则称为函数的二阶不动点，简称稳定点

①稳定点是不动点和二阶周期点的并集

②稳定点是图像上关于对称的两点的横坐标以及与的交点的横坐标

2、两函数的对称问题转化为函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）问题，常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解

【典型例题】

例1．（2024·山东青岛·高三统考开学考试）将函数的图象绕点逆时针旋转，得到曲线，对于每一个旋转角，曲线都是一个函数的图象，则最大时的正切值为（????）

A． B． C． D．

例2．（2024·山东潍坊·高三统考阶段练习）已知函数，将函数的图象绕原点逆时针旋转角后得到曲线，若曲线仍是某个函数的图象，则的最大值为（????）

A． B． C． D．

例3．（2024·江西·校联考模拟预测）已知函数与函数的图像上恰有两对关于x轴对称的点，则实数a的取值范围为（????）

A． B． C． D．

例4．（2024·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考期末）已知函数与函数的图像上恰有两对关于轴对称的点，则实数的取值范围为（????）

A． B． C． D．

例5．（2024·全国·高三专题练习）对于连续函数，若，则称为的不动点．设，若有唯一不动点，且，，则．

例6．（2024·北京海淀·清华附中校考模拟预测）对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点，现新定义：若满足，则称为的次不动点，有下面四个结论

①定义在R上的偶函数既不存在不动点，也不存在次不动点

②定义在R上的奇函数既存在不动点，也存在次不动点

③当时，函数在上仅有一个不动点和一个次不动点．

④不存在正整数m，使得函数在区间上存在不动点，其中，正确结论的序号为．

例7．（2024·广东揭阳·高三校考阶段练习）拓扑空间中满足一定条件的图象连续的函数，如果存在点，使得，那么我们称函数为“不动点”函数，而称为该函数的不动点．类比给出新定义：若不动点满足，则称为的双重不动点．则下列函数中，①；②；③具有双重不动点的函数为．（将你认为正确的函数的代号填在横线上）

【过关测试】

一、单选题

1．（2024·安徽池州·高三统考期末）设是含数1的有限实数集，是定义在上的函数，若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中的取值只可能是

A． B．1 C． D．0

2．（2024·贵州贵阳·高一贵阳一中校考阶段练习）设是含数3的有限实数集，是定义在上的函数，若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（????）

A． B．3 C．-3 D．0

3．（2024·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试）2021年第十届中国花卉博览会举办在即，其中，以“蝶恋花”为造型的世纪馆引人瞩目（如图①），而美妙的蝴蝶轮廓不仅带来生活中的赏心悦目，也展示了极致的数学美学世界.数学家曾借助三角函数得到了蝴蝶曲线的图像，探究如下：

如图②，平面上有两定点，两动点，且绕点逆时针旋转到所形成的角记为，设函数，其中令，作，随着的变化，就得到了点的轨迹，其形似“蝴蝶”，则以下4幅图中，点的轨迹（考虑蝴蝶的朝向）最有可能为（????）

A． B．

C． D．

4．（2024·陕西榆林·高三校考阶段练习）已知函数与函数的图像上恰有两对关于x轴对称的点，则实数m的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

5．（2024·贵州六盘水·高三校考期末）已知函数是自然对数的底数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数a的取值范围是()

A． B．

C． D．

6．（2024·贵州贵阳·高三贵阳一中阶段练习）若函数，（，为自然对数的底数）与的图象上存在两组关于轴对称的点，则实数的取值范围是

A． B．

C． D．

7．（2024·湖北·校联考二模）已知函数（为自然对数的底数）与的图象上存在两组关于轴对称的点，则实数的取值范围是(????)

A． B． C