第10讲 空间的垂直关系（人教A版2019必修第二册）（解析版）.docx

第10讲空间的垂直关系

【人教A版2019】

·模块一空间直线、平面的垂直（一）

·模块二空间直线、平面的垂直（二）

·模块三课后作业

模块一

模块一

空间直线、平面的垂直（一）

1．异面直线所成的角

(1)两条异面直线所成的角的定义

如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a∥a，b∥b，我们把直线a，b所成的

角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).

(2)异面直线所成的角的范围

异面直线所成的角必须是锐角或直角，即的范围是.

(3)两条异面直线垂直的定义

如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记

作a⊥b.

2．直线与平面垂直

(1)定义

如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作l⊥.直线l叫

做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足.

(2)点到平面的距离

过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的

长度叫做这个点到该平面的距离.

3．直线与平面垂直的判定定理

(1)自然语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直．

(2)图形语言：如图所示．

(3)符号语言：a?α，b?α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b?l⊥α.

该定理可简记为“若线线垂直，则线面垂直”.

4．直线与平面所成的角

(1)定义

①斜线和斜足：如图，一条直线l与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的

斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足.

②斜线在平面上的射影：如图，过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的

直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.

③斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所

成的角.

(2)直线与平面所成的角的范围

①一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是.

②一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是.

③与平面相交且不垂直于此平面的直线和此平面所成的角的范围是.

④直线与平面所成的角的取值范围是.

5．直线与平面垂直的性质定理

(1)直线与平面垂直的性质定理

①自然语言：垂直于同一个平面的两条直线平行．

②图形语言：如图所示．

③符号语言：a⊥α，b⊥α?a∥b.

(2)性质定理的作用

①由线面垂直证明线线平行.

②构造平行线.

【考点1异面直线所成的角】

【例1.1】（2023下·陕西安康·高二统考期末）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB

A．12 B．13 C．22

【解题思路】取BD的中点G，直线EF与直线AA1所成的角为∠EFG，在

【解答过程】如图，取BD的中点G，连接EG，FG，则AA1

故直线EF与直线AA1所成的角为

因为AA1⊥面ABCD，EG?面ABCD，所以

设AA1=FG=2

??

故选：A.

【例1.2】（2023下·山东枣庄·高一校考阶段练习）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB

A．30° B．45° C．60° D．90°

【解题思路】连接A1C1，则∠A1A

【解答过程】解：如图，连接A1C1，因为BB1//A1

因为tan∠A1

故选：C.

【变式1.1】（2023下·宁夏银川·高一校考期末）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D为A1B

A．30° B．45° C．60° D．90°

【解题思路】取B1C1的中点E，连接BE,DE，易得∠BDE

【解答过程】如图，取B1C1的中点E，连接BE,DE，则AC//A1

由条件知：BD=DE=

故选：C.

【变式1.2】（2023·全国·高一专题练习）如图所示，在正三角形ABC中，D,E,F分别为各边的中点，G,H,I,J分别为AF,AD,BE

A．90° B．60° C．45° D．0°

【解题思路】根据题意，进行求解即可.

【解答过程】将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，I、J分别为BE、DE的中点，则IJ∥侧棱AD，故GH与IJ所成角与侧棱AD与GH所成的角相等；AD为折成三棱锥的侧棱，因为∠AHG=60°，故GH与IJ所成角的度数为60°，

故选:B．

【考点2线线垂直的判定】

【例2.1】（2023下·全国·高一专题练习）如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么MA与BD的位置关系是（????）

A．平行 B．垂直相交 C．垂直但不相交 D．相交但不垂直

【解题思路】由题意结合线面垂直的判定定理和线面垂直的定义即可确定MA与BD的位置关系.

【解答过程】∵BD是菱形ABCD的一条对角线，菱形对角线互相垂直，

∴AC⊥BD.

∵MC⊥平面ABCD，

∴MC⊥