第19讲 图形的相似（解析版）.docx

第19讲图形的相似

考纲要求

命题趋势

1．了解比例线段的有关概念及其性质，并会用比例的性质解决简单的问题．

2．了解相似多边形、相似比和相似三角形的概念，掌握其性质和判定并会运用图形的相似解决一些简单的实际问题．

3．了解位似变换和位似图形的概念，掌握并运用其性质.

相似多边形的性质是中考考查的热点，其中以相似多边形的相似比、面积比、周长比的关系考查较多．相似三角形的判定、性质及应用是考查的重点，常与方程、圆、四边形、三角函数等相结合，进行有关计算或证明.

一、比例线段

1．比例线段的定义

在四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，

即a：b=c：d，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．

2．比例线段的基本性质

eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)?ad＝bc.

3．黄金分割

把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点.

（）

二、相似多边形

1．定义

对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做相似比，相似比为1的两个多边形全等．

2．性质

（1）相似多边形的对应角相等，对应边成相等；

（2）相似多边形周长的比等于相似比；

（3）相似多边形面积的比等于相似比的平方．

三、相似三角形

1．定义

各角对应相等，各边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形．

2．判定

（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似；

（2）两角对应相等，两三角形相似；

（3）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；

（4）三边对应成比例，两三角形相似；

（5）斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．

3．性质

（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；

（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；

（3）相似三角形周长的比等于相似比；

（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方．

四、位似变换与位似图形

1．定义

如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，那么这两个图形叫做位似图形。位似图形对应点连线的交点是位似中心，这时的相似比又称为位似比。

2．性质

位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比；位似图形对应线段的比等于相似比；位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形。?

1.如图，四条平行直线l1，l2，l3，l4被直线l5，l6所截，AB：BC：CD=1：2：3，若FG=3，则线段EF和线段GH的长度之和是（B）

A．5 B．6 C．7 D．8

【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，分别求出EF、GH，计算即可．

【解答】解：∵l1∥l2∥l3，

∴＝，即＝，

解得，EF＝，

∵l2∥l3∥l4，

∴＝，即＝，

解得GH＝，

则线段EF和线段GH的长度之和＝+＝6，

故选：B．

【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．

2．若相似△ABC与△DEF的相似比为1:3，则△ABC与△DEF的面积比为（B）

A．1:3B．1:9C．3:1D．1:eq\r(3)

【分析】由相似△ABC与△DEF的相似比为1：3，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得△ABC与△DEF的面积比．

【解答】解：∵相似△ABC与△DEF的相似比为1：3，

∴△ABC与△DEF的面积比为1：9．

故选：B．

【点评】本题考查对相似三角形性质．注意相似三角形面积的比等于相似比的平方．

3．如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（D）

A．1：4 B．1：3 C．2：3 D．1：2

【分析】首先证明△DFE∽△BAE，然后利用对应边成比例，E为OD的中点，求出DF：AB的值，又知AB＝DC，即可得出DF：FC的值．

【解答】解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，

则△DFE∽△BAE，

∴＝，

∵O为对角线的交点，

∴DO＝BO，

又∵E为OD的中点，

∴DE＝DB，

则DE：EB＝1：3，

∴DF：AB＝1：3，

∵DC＝AB，

∴DF：DC＝1：3，

∴DF：FC＝1：2．

故选：D．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，难度适中，解答本题的关键是根据平行证明△DFE∽△BAE，然后根据对应边成比例求值．

4．已知P、Q是线段A