第19讲 图形的相似（原卷版）.docx

第19讲图形的相似

考纲要求

命题趋势

1．了解比例线段的有关概念及其性质，并会用比例的性质解决简单的问题．

2．了解相似多边形、相似比和相似三角形的概念，掌握其性质和判定并会运用图形的相似解决一些简单的实际问题．

3．了解位似变换和位似图形的概念，掌握并运用其性质．

相似多边形的性质是中考考查的热点，其中以相似多边形的相似比、面积比、周长比的关系考查较多．相似三角形的判定、性质及应用是考查的重点，常与方程、圆、四边形、三角函数等相结合，进行有关计算或证明．

一、比例线段

1．比例线段的定义

在四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，

即a：b=c：d，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．

2．比例线段的基本性质

eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)?ad＝bc．

3．黄金分割

把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点．

（）

二、相似多边形

1．定义

对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做相似比，相似比为1的两个多边形全等．

2．性质

（1）相似多边形的对应角相等，对应边成相等；

（2）相似多边形周长的比等于相似比；

（3）相似多边形面积的比等于相似比的平方．

三、相似三角形

1．定义

各角对应相等，各边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形．

2．判定

（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似；

（2）两角对应相等，两三角形相似；

（3）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；

（4）三边对应成比例，两三角形相似；

（5）斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．

3．性质

（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；

（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；

（3）相似三角形周长的比等于相似比；

（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方．

四、位似变换与位似图形

1．定义

如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，那么这两个图形叫做位似图形。位似图形对应点连线的交点是位似中心，这时的相似比又称为位似比。

2．性质

位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比；位似图形对应线段的比等于相似比；位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形。?

1.如图，四条平行直线l1，l2，l3，l4被直线l5，l6所截，AB：BC：CD=1：2：3，若FG=3，则线段EF和线段GH的长度之和是（）

A．5 B．6 C．7 D．8

2．若相似△ABC与△DEF的相似比为1:3，则△ABC与△DEF的面积比为（）

A．1:3B．1:9C．3:1D．1:eq\r(3)

3．如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（）

A．1：4 B．1：3 C．2：3 D．1：2

4．已知P、Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB=10，则PQ长为（）

A． B． C．10﹣20 D．

5．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，如果AD⊥BC，BC＝3，AD＝2，EF：EH＝2：3，那么EH的长为（）

A． B． C． D．2

6.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（）

A．2 B．2.5或3.5 C．3.5或4.5 D．2或3.5或4.5

7.△ABC中，DE∥BC，若AD=1，DB=2，则=．

8．已知三个数：1，2，，请你添上一个数，使它们能构成一个比例式，则这个数是．

9．如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B．

（1）求证：AC?CD=CP?BP；

（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．

10．如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且∠BEF＝90°，延长EF交BC的延长线于点G．

（1）求证：△ABE∽△EGB；

（2）若AB＝4，求CG的长．

考点一