第32讲 解析几何中长度面积和、差、商、积(原卷版）_1.docx

第32讲解析几何中长度面积和、差、商、积

【典型例题】

例1．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上一点，且到，的距离之和为8.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设为关于原点的对称点，斜率为的直线与线段（不含端点）相交于点，与椭圆相交于点，若为常数，求与面积的比值.

例2．（2024·高三·全国·专题练习）设椭圆M：的离心率为，且内切于圆．

(1)求椭圆M的方程；

(2)若直线交椭圆于、两点，椭圆上一点，求面积的最大值．

例3．（2024·辽宁鞍山·二模）焦点在轴上的椭圆的左顶点为，，，为椭圆上不同三点，且当时，直线和直线的斜率之积为．

(1)求的值；

(2)若的面积为1，求和的值；

(3)在（2）的条件下，设的中点为，求的最大值．

例4．（2024·上海·二模）在中，已知，，设分别是的重心、垂心、外心，且存在使.

(1)求点的轨迹的方程；

(2)求的外心的纵坐标的取值范围；

(3)设直线与的另一个交点为，记与的面积分别为，是否存在实数使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

例5．（2024·高三·重庆·阶段练习）从圆上任取一点向轴作垂线段为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹为曲线（当为轴上的点时，规定与重合）.

(1)求的方程，并说明曲线的类型；

(2)若与轴和轴的交点分别为（在左侧；在下侧），点在线段上，过点且平行于的直线交于点（异于），交轴于点，直线交于点（异于点，直线交轴于点.

从下列两个问题中选择一个进行作答：

①证明：；

②与的面积是否相等？请说明理由.

例6．（2024·高三·江苏·专题练习）经过圆上一动点作椭圆的两条切线，切点分别记为，直线分别与圆相交于异于点的两点.

(1)求证：.

(2)求的面积的取值范围.

例7．（2024·浙江温州·二模）已知直线与椭圆交于两点，是椭圆上一动点（不同于），记分别为直线的斜率，且满足．

(1)求点的坐标（用表示）；

(2)求的取值范围．

例8．（2024·天津河西·一模）已知椭圆的上、下顶点为、，左焦点为，定点，．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过点作斜率为（）的直线交椭圆于另一点，直线与轴交于点（在，之间），直线与轴交于点，若，求的值．

例9．（2024·湖南衡阳·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与交于两点，的周长为8．

(1)求的方程；

(2)若直线与交于两点，且原点到直线的距离为定值1，求的最大值．

【过关测试】

1．（2024·天津河东·一模）已知椭圆的离心率为，点到椭圆右焦点距离等于焦距.

(1)求椭圆标准方程；

(2)过点斜率为的直线与椭圆交于两点，且与轴交于点，线段的垂直平分线与轴，轴分别交于点，点为坐标原点，求的值.

2．（2024·北京石景山·一模）已知椭圆的离心率为，短轴长为．

(1)求椭圆的方程；

(2)设为坐标原点，过点分别作直线，直线与椭圆相切于第三象限内的点，直线交椭圆于两点．若，判断直线与直线的位置关系，并说明理由．

3．（2024·安徽黄山·一模）设点、分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，且的最小值为．

(1)求椭圆的方程；

(2)求椭圆的外切矩形的面积的最大值．

4．（2024·高三·陕西安康·阶段练习）设椭圆，，分别是C的左、右焦点，C上的点到的最小距离为1，P是C上一点，且的周长为6．

(1)求C的方程；

(2)过点且斜率为k的直线l与C交于M，N两点，过原点且与l平行的直线与C交于A，B两点，求证：为定值．

5．（2024·贵州毕节·二模）在椭圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，点在线段上，且满足.

(1)当点在椭圆上运动时，求点的轨迹的方程；

(2)若曲线与，轴的正半轴分别交于点，，点是上第三象限内一点，线段与轴交于点，线段与轴交于点，求四边形的面积.

6．（2024·山西·模拟预测）已知为椭圆的右焦点，过点且斜率为的直线与椭圆交于点，，且．

(1)求的取值范围；

(2)过点作直线与椭圆交于点，，直线的倾斜角比直线的倾斜角大，求四边形面积的最大值．

7．（2024·山东烟台·一模）已知双曲线经过点，离心率为，直线过点且与双曲线交于两点（异于点）.

(1)求证：直线与直线的斜率之积为定值.并求出该定值；

(2)过点分别作直线的垂线，垂足分别为，记的面积分别为，求的最大值.

8．（2024·广东广州·一模）已知为坐标原点，双曲线的焦距为，且经过点.

(1)求的方程：

(2)若直线与交于，两点，且，求的取值范围：

(3)已知点是上的动点，是否存在定圆，使得当过点能作圆的两条切线，时（其中，分别是两切线与的另一交点），总满足？若存在，求出圆的半径：若不存在，请说明理由.

9．（2024·福建泉州·模拟预测）已知中心在原点、焦点在x轴上的圆锥曲线E的离心率为2，过E的右焦点F作垂直于