考点05 三角函数的定义及同角三角函数（解析版）-2024年新高考艺体生一轮复习.docx

考点05三角函数的定义及同角三角函数

任意角

1.定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．

2.角的分类

按旋转方向

正角

按逆时针方向旋转而成的角

负角

按顺时针方向旋转而成的角

零角

射线没有旋转

按终边位置

前提：角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合

象限角

角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角

其他

角的终边落在坐标轴上

3.终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．

二．弧度制

1.定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度记作rad.

2.公式

角α的弧度数公式

|α|＝eq\f(l,r)

角度与弧度的换算

1°＝eq\f(π,180)rad，1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈57°18′

弧长公式

l＝|α|·r

扇形面积公式

S＝eq\f(1,2)l·r＝eq\f(1,2)|α|·r2

三．任意角的三角函数

1.定义：在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r＝eq\r(x2＋y2)0)．

则sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．

2.三角函数在每个象限的正负如下表：

三角函数

第一象限符号

第二象限符号

第三象限符号

第四象限符号

sinα

＋

＋

－

－

cosα

＋

－

－

＋

tanα

＋

－

＋

－

3.特殊角的三角函数值

四．同角三角函数的基本关系

1.平方关系：sin2α＋cos2α＝1商数关系：eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).

2.同角三角函数基本关系式的变形

(1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式：sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α；

(2)tanα＝eq\f(sinα,cosα)的变形公式：sinα＝cosαtanα；cosα＝eq\f(sinα,tanα).

五．解题思路及易错点

1.公式l＝|α|·r和S＝eq\f(1,2)l·r＝eq\f(1,2)|α|·r2中的α必须用弧度制，不能用角度制

2.α的终边上任意一点的坐标是(x，y)与三角函数值的正负可以相互判断

3.判断象限角的方法

（1）图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．

（2）转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．

4.三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．

5.三角函数的定义

1，已知角α的终边上一点P的坐标，求角α的三角函数值．

方法：先求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解；

2.已知角α的一个三角函数值和终边上一点P的横坐标或纵坐标，求角α的三角函数值．

方法：先求出点P到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题；

3.已知角α的终边所在的直线方程(y＝kx，k≠0)，求角α的三角函数值．

方法：先设出终边上一点P(a，ka)，a≠0，求出点P到原点的距离(注意应对a的符号分类讨论)，再利用三角函数的定义求解．

6.同角三角函数题型及解题思路

（1）公式的直接运用

（3）弦的加减乘关系

考点一角度制与弧度制的转换

【例1】（2023·云南）把下列角度与弧度进行互化．

(1)；(2)；(3)；(4).(5)(6)(7)(8)(9)(10)

【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)

【解析】（1）.

（2）.

（3）.

（4）.

（5）.

（6）.

（7）.

（8）.

（9）

（10）.

【变式】

1．（2023·北京）把下列各角的弧度化成度：

(1)；(2)；(3)；(4)．

【答案】(1)(2)(3)(4)

【解析】（1）.

（2）.

（3）.

（4）.

2（2023·云南）把下列各角的角度化成弧度：

(1)；(2)；(3)；(4)．

【答案】(1)(2)(3)(4)

【解析】（1）解：由角度制与弧度制的互化公式，可得.

（2）解：由角度制与弧度制的互化公式，可得.

（3）解：由角度制与弧度制的互化公式，可得.

（4）解：由角度制与弧度制的互化公式，可得.

考点二扇形的弧长与面积

【例2-1】（2023上·重庆·高三西南大学附中校考期中）已知扇形的圆心角是，半径