考点08 正余弦定理（原卷版）-2024年新高考艺体生一轮复习.docx

考点08正余弦定理

正余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则

定理

正弦定理

余弦定理

内容

eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R

a2＝b2＋c2－2bccosA；

b2＝c2＋a2－2cacosB；

c2＝a2＋b2－2abcosC

变形

a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；

sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；

a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；

asinB＝bsinA，

bsinC＝csinB，

asinC＝csinA

cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；

cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；

cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)

使用条件

1.两角一边求角

2.两边对应角

1.三边求角

2.两边一角求边

二.三角形常用面积公式

(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示边a上的高)；

(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA；

(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．

三．选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：

1.若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；

2.若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；

3.若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；

4.代数式变形或者三角恒等变换前置；

5.含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；

6.同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.

考点一正余弦定理的选择

【例1-1】（2023·内蒙古通辽）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（????）

A．8 B．5 C．4 D．3

【例1-2】（2023·广东）在中，角的对边分别是，已知，，，则（????）

A．7 B．19 C． D．

【例1-3】（2023·浙江金华）在中，角所对的边分别为，若，则角（????）

A． B． C． D．

【变式】

1．（2023·江苏徐州）在中，边长，则边长（????）

A． B． C． D．

2．（2023·山东青岛）在中，角的对边分别为，，，．则．

3．（2023·新疆）在中，已知，，，则.

4．（223·广东珠海）在中，已知，则；

5．（2023下·河南郑州·高一郑州中学校考期末）在中，分别是，，的对边.若，且，则的大小是（????）

A． B． C． D．

考点二边角互换常见形式

【例2-1】（2023·重庆巴节选）在中，角所对的边分别为，，角=。

【例2-2】（2023·海南海口节选）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，A的大小为

【例2-3】（2023·北京·统考高考真题）在中，，则（????）

A． B． C． D．

【变式】

1.（2023·河南节选）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.A=

2.（2023·甘肃陇南:）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，角=

3.（2023·云南·校联考模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，:，求角=

4.（2023·福建泉州·统考模拟预测节选）的内角所对的边分别为，且满足，=

5．（2023·湖南永州·统考一模）在中，设所对的边分别为，且满足，角=

考点三三角形的周长与面积

【例3-1】（2022·浙江·统考高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．

(1)求的值；

(2)若，求的面积．

【例3-2】（2022·北京·统考高考真题）在中，．

(1)求；

(2)若，且的面积为，求的周长．

【变式】

1．（2023·陕西西安）在中，内角，，的对边分别为，，，且．

(1)求角的大小；

(2)若，，求的面积．

2．（2023上·陕西渭南·高三校考阶段练习）在锐角中，，，分别为角、、所对的边，且.

(1)求角.

(2)，，求的面积.

3．（2023上·湖北宜昌·高三统考期中）在中，内角的对边分别为，且，．

(1)求证：是等腰三角形；

(2)若，求的周长和面积．

考点四正余弦定理在几何中应用

【例4-1】（2023·重庆江津）如图，在中，已知，是边上的一点，，，.

（1）求的面积；

（2）求边的长.

【例4