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例2.传输线方程研究高频传输线内电流流动规律。待研究物理量:电流强度i(x,t),电压v(x,t)R—每一回路单位的串联电阻,L—每一回路单位的串联电感，C—每单位长度的分路电容，G—每单位长度的分路电导，第47页,共78页，星期六，2024年，5月Kirchhoff第一,二定律微分形式两端对x微分两端对t微分*C相减—传输线方程高频传输，G=0,R=0—高频传输线方程与一维波动方程类似第48页,共78页，星期六，2024年，5月例3.声学方程Lapalce算子三维波动方程第49页,共78页，星期六，2024年，5月注2：类似的可导出二维波动方程（例如薄膜振动）,它的形式为1.2基本方程的建立第50页,共78页，星期六，2024年，5月如果空间某物体内各点处的温度不同，则热量就从温度较高点处到温度较低点处流动，这种现象叫热传导。考虑物体G内的热传导问题。函数u(x,y,z,t)表示物体G在位置M(x,y,z)以及时刻t的温度。通过对任意一个小的体积元V内的热平衡问题的研究，建立方程。假设：假定物体内部没有热源，物体的热传导系数为常数，即是各向同性的，物体的密度以及比热是常数。热场例4.热传导方程1.2.2输运问题第51页,共78页，星期六，2024年，5月热场傅立叶实验定律:物体在无穷小时段dt内沿法线方向n流过一个无穷小面积dS的热量dQ与时间dt,面积dS,物体温度沿曲面dS法线方向的方向导数成正比.从时刻到时刻经过曲面S流入区域V的热量为高斯公式第52页,共78页，星期六，2024年，5月流入热量使物体内温度变化，在时间间隔中物体温度从变化到所需吸收热量为比热密度由于所考察的物体内部没有热源,根据能量守恒定律可得第一章典型方程和定解条件的推导第53页,共78页，星期六，2024年，5月由于时间,和区域V都是任意选取的,并且被积函数连续,于是得(非均匀的各向同性体的热传导方程)对于均匀的各向同性物体，k为常数，记则得齐次热传导方程:三维热传导方程*第54页,共78页，星期六，2024年，5月若物体内部有热源F(x,y,z,t),则热传导方程为其中第55页,共78页，星期六，2024年，5月数学物理方程与特殊函数☆课程的内容三种方程、四种求解方法、二个特殊函数分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法波动方程、热传导、拉普拉斯方程贝赛尔函数、勒让德函数☆数学物理方程定义描述某种物理现象的数学微分方程。第15页,共78页，星期六，2024年，5月研究数学物理方程的建立、求解方法和解的物理意义的分析。第16页,共78页，星期六，2024年，5月第一章概论第17页,共78页，星期六，2024年，5月1.1基本概念第18页,共78页，星期六，2024年，5月微分方程:含有自变量,未知函数以及未知函数的导数或微分的方程常微分方程：未知函数为一元函数的微分方程.偏微分方程:未知函数为多元函数的微分方程*1.1.1微分方程简介第19页,共78页，星期六，2024年，5月例如都是偏微分方程,1基本概念第20页,共78页，星期六，2024年，5月偏微分方程的阶:方程中未知函数的偏导的最高阶数是二阶偏微分方程是三阶偏微分方程.例:1基本概念第21页,共78页，星期六，2024年，5月线性偏微分方程:对于未知函数及其所有偏导数来说都是线性的，且方程中的系数都仅依赖于自变量（或者为常数）非线性偏微分方程:不是线性的偏微分方程例是二阶线性偏微分方程是非线性偏微分方程1基本概念第22页,共78页，星期六，2024年，5月线性偏微分方程分为常系数和变系数的两类常系数的方程中未知函数及其所有偏导数都是常数；变常系数的方程中未知函数及其所有偏导数不全都是常数。解(古典解)若在某区域内一个函数及其各阶连续的偏导数满足某偏微分方程,则称此函数为该方程在这个区域内的一个解(古典解).1基本概念第23页,共78页，星期六，2024年，5月例1.1.1求函数u=u(x,y),满足ux=y.解对方程两边求x的积分，得u=xy+f(y)这里f为任意可微函数.这个函数就是方程的通解.1基本概念例1.1.2求方程uxy=2的通解.解对方程两