全国中学生标准学术能力诊断性测试2024-2025学年高三上学期12月测试数学试卷.docx

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标准学术能力诊断性测试2024年12月测试

数学试卷

本试卷共150分

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有符合题目要求的．

1.已知集合，，下列结论成立的是（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据集合中的元素即可判断两集合的关系，再由交集、并集运算即可得出结果.

【详解】对于A，易知但，因此不正确，即A错误；

对于B，易知，即B错误；

对于C，，即C错误；

对于D，易求得，即D正确.

故选：D

2.已知，为虚数单位，若复数的实部与虚部相等，则（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据复数的乘法运算，结合实部等于虚部建立方程，解之即可求解.

【详解】，

所以，解得.

故选：D

3.已知，，则（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据两角和的正弦公式和同角的商数关系可得，进而，结合两角和的正切关系计算即可求解.

【详解】由，得，

等式两边同时除以，得，

即，又，所以，

所以.

故选：A

4.斜率为的直线经过点，且与抛物线交于A，B两点，则（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】将直线方程与抛物线方程联立，后由抛物线定义结合韦达定理可得答案.

【详解】由题可得抛物线焦点为1,0，准线为.直线方程为：.

将直线方程与抛物线方程联立可得，

设，由韦达定理可得.

如图，过AB分别作准线的垂线，垂足为C，D，则由抛物线定义

.

故选：C

5.已知分别表示随机事件发生的概率，那么是下列哪个事件的概率（）

A.事件同时发生

B.事件至少有一个发生

C.事件都不发生

D.事件至多有一个发生

【答案】C

【解析】

【分析】表示事件至少有一个发生的概率，据此得到答案.

【详解】分别表示随机事件发生的概率，

表示事件至少有一个发生的概率，故表示事件都不发生的概率.

故选：C.

6.已知，设，，则的取值范围为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据对数的换底公式和基本不等式的应用计算即可求解.

【详解】由，得，

所以，

当且仅当即时，等号成立.

所以的取值范围为.

故选：A

7.设，若方程（）有个不同的根，，，则的取值范围为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】由题可得，利用导数求出的极值，当位于极小值与极大值之间时，可使有3个不同根，即可得答案.

【详解】因方程（）有个不同的根，，，

则，经比较系数可得，

则问题等价于，当方程有三个不同根时，k的范围，

即图象与有三个交点时，k的范围，

注意到，

令；令，

则在上单调递增，在上单调递减，

则极大值为，极小值为，

则要使图象与有三个交点，k需在极小值与极大值之间，即.

故选：C.

8.已知双曲线左、右焦点为，，的一条渐近线为，点位于第一象限且在双曲线上，点满足：，，则的最大值为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】由题可得双曲线方程，PM为角平分线，延长交于N，由中位线定理可得M所在轨迹，后由两点间距离公式结合不等式知识可得答案.

【详解】由的左、右焦点为，，的一条渐近线为，

可得双曲线方程为：，

因，则PM为的角平分线.

其中延长相交而来，由对称性可得为等腰三角形，

则，M为的中点.

又由双曲线定义，可得，则.

因M为的中点，O为的中点，则，

则在以O为圆心，半径为的圆上，设，

则

当时，因，又，

则当时，，当且仅当时取等号.

则

得，当且仅当，即时取等号.

故选：A

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得6分，部分选对但不全得3分，有错选的得0分．

9.已知直线：与圆：，，则下列判断正确的是（）

A.若点在圆上，且直线与圆相切，则

B.若点在圆内，且，则直线与圆相交

C.若，，则直线与圆相交

D.若，则直线截圆所得弦长为

【答案】CD

【解析】

【分析】由题意，根据直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式计算，依次判断选项即可.

【详解】A：点在圆上，则；又直线与圆相切，

则圆心到直线的距离为，

解得，故A错误；

B：当时，直线；又点在圆内，则，

圆心到直线的距离为，

即直线与圆相离，故B错误；

C：当，时，直线，圆的半径为，

圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交，故B正确；

D：当时，直线，所以圆心到直线的距离为，

则直线过圆心，得直线截圆所得弦长为2，故D正确.

故选：CD

10.我们熟知的五面体有三棱柱、三棱台、四棱锥等．《九章算术》