辽宁省沈阳市东北育才学校2024-2025学年高三上学期第三次模拟考试数学试卷.docx

2024—2025学年度东北育才学校高中高三

第三次模拟考试数学科试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分。每小题给出的备选答案中，只有一个是符合题意的。

1．已知全集，集合，集合，则等于（）

A． B． C． D．

2．若复数满足（为虚数单位），则的虚部是（）

A． B．1 C． D．

3．已知，则（）

A． B． C． D．

4．以边长为2的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将该正三角形旋转一周所得几何体的表面积为（）

A． B． C． D．

5．已知向量满足，，，与的夹角为，设，数列的前项和为，则（）

A．120 B．180 C．210 D．420

6．在中，角、、所对的边分别为，，，且，则的最大值为（）

A． B．2 C． D．

7．已知矩形，，，为边上一点且，与交于点，将沿着折起，使得点折到点的位置，则的最大值是（）

A． B． C． D．

8．函数，不等式对恒成立，则实数的取值范围是（）

A． B． C． D．

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，满分18分。每小题给出的备选答案中，有多个选项是符合题意的。全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分。

9．已知函数，下列说法正确的是（）

A．的最小正周期为

B．点为图象的一个对称中心

C．若在上有两个实数根，则

D．若的导函数为，则函数的最大值为

10．如图，已知中，，，是的中点，动点在以为直径的半圆弧上．则（）

A．

B．最小值为

C．在上的投影向量为

D．若，的最大值为

11．如图所示，在五面体中，四边形是矩形，和均是等边三角形，且，，则（）

A．平面

B．二面角随着的减小而减小

C．当时，五面体的体积最大值为

D．当时，存在使得半径为的球能内含于五面体

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分。

12．已知函数是偶函数，则________．

13．如图，平面四边形中，，，，为等边三角形，现将沿翻折，使点移动至点，且，则三棱锥的外接球的表面积为________．

14．已知不等式对恒成立，则当取最大值时，________．

四、解答题：本题共5小题，满分77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．（本题满分13分）已知，，分别为三个内角，，的对边，且满足，．

（1）求；

（2）若是中点，，求面积．

16．（本题满分15分）已知数列满足，．

（1）证明是等比数列，并求的通项公式；

（2）证明：．

17．（本题满分15分）已知函数，．

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）求的单调区间；

（3）当时，若对于任意，不等式成立，求的取值范围．

18．（本题满分17分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，面，，为棱上的动点．

（1）若为棱中点，证明：面；

（2）在棱上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；

（3），，分别在棱，，上，，求三棱锥的体积的最大值．

19．（本题满分17分）已知定义在上的函数（是自然对数的底数）满足，且，删除无穷数列、、、?、、?中的第3项、第6项、、第项、、，余下的项按原来顺序组成一个新数列，记数列前项和为．

（1）求函数的解析式；

（2）已知数列的通项公式是，，，求函数的解析式；

（3）设集合是实数集的非空子集，如果正实数满足：对任意、，都有，设称为集合的一个“阈度”；

记集合，试问集合存在“阈度”吗？若存在，求出集合“阈度”的取值范围；若不存在，请说明理由；

2024—2025学年度东北育才学校高中高三

第三次模拟考试数学科试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分。每小题给出的备选答案中，只有一个是符合题意的。

1．【答案】D

【详解】全集，而，则，又，所以．故选：D．

2．【答案】D

【详解】∵，∴复数的虚部是．故选：D．

3．【答案】B

【详解】由，则，化简得，所以，由．

故选：B

4．【答案】A

【详解】如图，正三角形绕所在直线为旋转轴旋转一周，得到几何体是两个同底的圆锥，

圆锥的底面半径为，

∴所得几何体的表面积为．

故选：A．

5．【答案】C

【详解】累加法，得

，

由于，，与的夹角为，故，

因此，

故，故选：C．

6．【答案】C

【详解】∵，∴，

，

，，

，

当且仅当时取等号，故选：C．

7．【答案】A

【详解】在矩形，，，，

由可得，由可得，

则，即，

可知折起后，必有，，，平面，

故平面，

因为是确定的直线，故对任意点，，，都在同一个确定的平面内，

因为，可知点在以点为圆心，半径为的圆上（如图），

由图知，当且仅当与该圆相切时，取到最大值，则也取到最大值，

此时，，则的最大值为．故选：A．

8．【答案】D

【分析】令，根据奇偶性定义判断为奇函数，再应用