数值分析课件第5章方程组的直接解法.pptVIP

§5.1引言与问题特例

第五章方程组的直接解法

5.2Gauss消去法

5.2.1Gauss消去法的计算过程

5.2.2矩阵的三角分解

5.2.3主元素消去法

5.2.4Gauss-Jordan消元法

第五章方程组的直接解法

第5章线性方程组的直接解法

教学目的

1.掌握解线性方程组的高斯消去法、高斯选主元素消去法；

2.掌握用直接三角分解法解线性方程组的方法；

3.了解解对称正定矩阵线性方程组的平方根法与解三对角线方程

组的追赶法；

5.掌握向量，矩阵范数，矩阵的条件数等概念及方程组的扰动分

析。

教学重点及难点

重点是

1.解线性方程组的高斯消去法、高斯选主元素消去法；

2.直接三角分解法解线性方程组的方法；

3.向量，矩阵范数，矩阵的条件数等概念及方程组的扰动分析；

难点是方程组的扰动分析。

第五章方程组的直接解法

第5章线性方程组的直接解法

(DirectMethodforSolvingLinearSystems)

在工程技术、自然科学和社会科学中，经常遇到的许

多问题最终都可归结为解线性方程组，如电学中网络问题、

用最小二乘法求实验数据的曲线拟合问题，工程中的三次

样条函数的插值问题，经济运行中的投入产出问题以及大

地测量、机械与建筑结构的设计计算问题等等，都归结为

求解线性方程组或非线性方程组的数学问题。因此线性方

程组的求解对于实际问题是极其重要的。

第五章方程组的直接解法

在工程实际问题中产生的线性方程组，其系数矩阵大

约有两种：

一种是低阶稠密矩阵(阶数n150，矩阵的全部元素都

可能贮在计算机中)；

另一种是大型高阶稀疏矩阵(矩阵元素中零元素较多，

阶数较高，如n=103或104等，这类矩阵一般要压缩存储或仅

存储系数矩阵中的非零元素．)

第五章方程组的直接解法

关于线性方程组的数值解法有两大类：

①直接法：就是经过有限步算术运算，可求得方程组精

确解的方法(若计算过程中没有舍入误差)，如克莱姆

法则就是一种直接法，但实际上由于舍入误差的存在，

这类方法也只能求得线性方程组的近似解。

直接法中具有代表性的算法是高斯(Gauss)消去

法。其特点是准确，可靠，理论上得到的解是精确的.

这类方法是解低阶稠密矩阵方程组的有效方法.

近十几年来,直接法在求解具有较大型系数矩阵方程组方面

取得了较大进展.

第五章方程组的直接解法

②迭代法：(第六章介绍）就是用某种极限过

程去逐步逼近线性方程组的精确解的方法。

也就是从解的某个近似值出发，通过构造一

个无穷序列去逼近精确解的方法。(一般有限

步内得不到精确解).

特点是速度快，但有误差.

迭代法是解大型稀疏矩阵方程组的的重要方法.

第五章方程组的直接解法

对于中小型方程组，常用直接解法。从本质上来说，

直接方法的原理是找一个可逆矩阵M，使得MA是一个上

三角阵，这一过程一般称为“消元”过程，消元之后再

进行“回代”，即求解MAx=Mb。本章讨论Gauss消去

法及其变形，以及一些情况下的特殊方法，最后进行误

差分析。

本章讲解直接法.

设线性方程组为第五章方程组的直接解法

a11x1a12x2a1nxnb1

axaxaxb

2112222nn2(1)



an1x1an2x2annxnbn

或写成矩阵形式

a11a12a1nx1b1

aaaxb

21222n22