第06讲 权方和不等式（含柯西不等式的应用）（高阶拓展、竞赛适用）（教师版）.docx

第06讲权方和不等式（含柯西不等式的应用）

（高阶拓展、竞赛适用）

本节内容为基本不等式的高阶拓展，熟练掌握后能快速解决基本不等式中的最值问题，常在高考及竞赛中做到类型题的秒解！

知识讲解

一、柯西不等式

1.二维形式的柯西不等式

a2+b2c2+d2≥ac+bd2(a,b,c,d∈R,当且仅当ad=bc时，等号成立.)

2.二维形式的柯西不等式的变式

(1)a2+

权方和不等式:

若则当且仅当时取等.

(注：熟练掌握这个足以应付高考中的这类型最值问题可以实现对一些问题的秒杀)

广义上更为一般的权方和不等式:

设,

若或,则;

若,则;

上述两个不等式中的等号当且仅当时取等

注意观察这个不等式的结构特征,分子分母均为正数,且始终要求分子的次数比分母的次数多1,出现定值是解题的关键,特别的,高考题中以最为常见,此时这个不等式是大家熟悉的柯西不等式.

考点一、权方和不等式全解析

例1：若正数，满足，则的最小值为______________

解：，

即，当且仅当时取等号，即，时取等号

所以的最小值为

例2：若，，，则的最小值为______________

解：

即，则，当且仅当时取等号

例3：已知正数满足，则的最小值为

解：

当且仅当时取等号.由解得：，

例4：若，，，则的最小值为______________

解：，当且仅当时取等号

例5：若，，则的最小值为______________

解：

当且仅当时取等号，即，所以的最小值为

例6：已知正数，，满足，则的最小值为______________

解：

当且仅当时取等号

例7：已知正数，，满足，则的最小值为______________

解：，当且仅当时取等号

例8：已知正数，满足，则的最小值为______________

解：

当且仅当时取等号

例9：求的最小值为______________

解：

当且仅当时取等号

例10：求的最小值为______________

解：

当且仅当时取等号

例11：权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，若，当取得最小值时，的值为（????）

A． B． C． D．

解：由题意得，，

则，

当且仅当，即时等号成立，所以．

例12：已知正数，满足，则的最小值为______________

解：

当且仅当时取等号

例13：已知，求的最小值为______________

解：

当且仅当时取等号

例14：已知，，，求的最大值为______________

解：

当且仅当时取等号

例15：求的最大值为______________

解：

当且仅当时取等号

例16：已知正数，，满足，求的最大值为___________

解：

当且仅当时取等号

考点二、柯西不等式全解析

例1：用柯西不等式求函数的最大值为

A． B．3 C．4 D．5

【答案】C

【分析】配凑目标函数，再利用柯西不等式即可求得结果.

【详解】由柯西不等式可得，

函数

当且仅当==时，即时等号成立，

故该的最大值为4.

故选：C.

例2：由柯西不等式，当时，求的最大值为（????）

A．10 B．4 C．2 D．

【答案】D

【分析】利用柯西不等式可得，即求.

【详解】解：由柯西不等式，得，

当且仅当，即时，等号成立.

因为，所以，

则，故的最大值为.

故选：D

例3：已知，若恒成立，利用柯西不等式可求得实数的取值范围是．

【答案】

【详解】试题分析：由柯西不等式得，所以，即.

考点：柯西不等式

例4：已知，求的最小值.（利用柯西不等式）

【答案】

【分析】利用柯西不等式进行求解．

【详解】由柯西不等式可知：（）（4+9+36），

，当且仅当

【点睛】本题考查的是函数最值的求法，主要通过消元和配方解决问题，也可以是利用柯西不等式进行求解．考查学生的转化能力．

例5：已知正实数，，，满足，则的最小值是．

【答案】/

【分析】

利用配凑法及柯西不等式即可求解.

【详解】

由题意可知，

，当且仅当时取“”号．

所以原式的最小值为．

故答案为：.

例6：已知非负实数a、b、c、d满足，求证：

【答案】证明见解析

【分析】利用切比雪夫不等式的推论、柯西不等式及均值不等式即可求解.

【详解】不妨设，则．

记，则，．

依次运用切比雪夫不等式的推论1、柯西不等式、均值不等式得到

，

故原不等式正确．

一、单选题

1．（2024·山西临汾·三模）若，则的最小值是（????）

A．1 B．4 C． D．

【答案】D

【分析】根据基本不等式及“1”的妙用计算即可．

【详解】因为，所以，

则，

当且仅当，即时，等号成立，取得最