人教A版高中数学(必修第二册)考点通关练07 余弦定理6种常见考法归类（解析版）.doc

考点07余弦定理6种常见考法归类

1、余弦定理的公式表达及语言叙述

余

弦

定

理

公式表达

a2＝b2＋c2－2bccosA，

b2＝a2＋c2－2accosB，

c2＝a2＋b2－2abcosC

语言叙述

三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍

推论

cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，

cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，

cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)

2、利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题

(1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形．

(2)若已知两边和一边的对角，可以用余弦定理解三角形．

3.在△ABC中，c2＝a2＋b2?C为直角；c2a2＋b2?C为钝角；c2a2＋b2?C为锐角.

4.当条件中出现了余弦定理的局部或变形如a2＋b2，a＋b，ab，cosA等，可以考虑使用余弦定理或变形形式对条件进行化简变形.

5.利用余弦定理判断三角形形状的方法

(1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线

①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系.

②先化角为边，再进行代数恒等变换(因式分解、配方等)，求出三边之间的数量关系,统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解．

(2)判断三角形的形状时，经常用到以下结论

①△ABC为直角三角形?a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2.

②△ABC为锐角三角形?a2＋b2c2，且b2＋c2a2，且c2＋a2b2.

③△ABC为钝角三角形?a2＋b2c2或b2＋c2a2或c2＋a2b2.

④若sin2A＝sin2B，则A＝B或A＋B＝.

考点一解三角形

（一）已知两边及其夹角

（二）已知两边及一边的对角

（三）已知三边

（四）已知一边一角及另外两边的关系

（五）已知一角及另外三边关系

考点二判断三角形的形状

考点三余弦定理的应用

（一）求边（求值）

（二）求角

（三）最值（范围）

考点四利用余弦定理解决实际问题

考点五利用余弦定理证明角相等

考点六余弦定理与三角函数的综合

考点一解三角形

（一）已知两边及其夹角

1．（2023·高一课时练习）在中，角所对边分别为．若，则______．

【答案】

【分析】利用余弦定理求解.

【详解】由余弦定理得，

解得

故答案为:.

2．（2023·高一课时练习）若中，，，，则______．

【答案】或

【分析】由已知可求得.分与两种情况，根据余弦定理，即可求出结果.

【详解】因为，，所以.

当时，由余弦定理，

因为，，解得；

当时，由余弦定理，

因为，，解得.

故答案为：或.

3．（2023·高一课时练习）三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程的根，则三角形的另一边长为___________.

【答案】

【分析】解方程可得，利用余弦定理求出第三边的长即可．

【详解】解：解方程可得此方程的根为2或，

故夹角的余弦，

由余弦定理可得三角形的另一边长为：．

故答案为：.

4．（2023秋·陕西渭南·高二统考期末）在中，若，则（????）

A．25 B．5 C．4 D．

【答案】B

【分析】利用余弦定理直接求解.

【详解】在中，若，，，

由余弦定理得.

故选：B

（二）已知两边及一边的对角

5．（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）在中，已知，，，则（????）

A．1 B． C．2 D．

【答案】C

【分析】利用余弦定理计算可得.

【详解】解：在中，因为，，，

由余弦定理，即，

解得或（舍去）.

故选：C

6．（2023秋·贵州黔东南·高三统考期末）在中，内角，，所对的边分别是，，，若，，，则______．

【答案】

【分析】利用余弦定理列方程求解.

【详解】由余弦定理得即，

解得（舍），

故答案为:.

7．（2023·高一课时练习）在中，已知，，，b＝5，则c＝______．

【答案】2

【分析】由，得，再结合，得到角为钝角，然后利用余弦定理求解.

【详解】解：在中，，b＝5，

由，得，

因为，

所以角为钝角，则，

由余弦定理得，

即，解得或（舍去），

故答案为：2

8．（2022春·上海黄浦·高一格致中学校考阶段练习）满足条件的的个数为（????）

A．一个 B．两个 C．不存在 D．无法判断

【答案】B

【分析】利用余弦定理运算求解即可判断.

【详解】因为，即，解得或，

所以满足条件的有两个．

故选：B．

（三）已知三边

9．（2022春·福建泉州·高一校考阶段练习）在中，若，则（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用余弦定理求解即可.

【详解】因为，

所以由