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完备统计量
完备统计量的概念与正交函数中的完全性概念相似，但是其统计背景不像充分统计量那样好说明.以后通过相关问题看这个概念的意义.本节介绍完备统计量的定义及其例子.
定义2.6.1设为一分布族，其中Θ为参数空间.设T=T(X1,X2,…,Xn)为一统计量，若对任何满足条件，对一切的都有，对一切则称T(X1,X2,…,Xn)为完备统计量(或完全统计量).若T=T(X1,X2,…,Xn)为完备统计量，则它的任一(可测)函数g(T)也是完全统计量.
由于设?(t)是任一实函数，且满足对一切0?1证明：为完备统计量.例2.6.1设X1,X2,…,Xn是来自两点分布总体B(1,?)的样本，证明因此
令则上式等价于对一切0?1
上式左边是?的多项式，因此必然有即因此,是完备统计量.，对一切
设X1,X2,…,Xn是从下面指数族(自然形式)中抽取的样本，指数族的自然形式为证明：若自然参数空间作为的子集有内点，则是完备统计量.定理2.6.1(指数族中统计量的完备性)其中x=(x1,x2,…,xn).
将样本X1,X2,…,Xn的联合分布列表示为指数族的自然形式其中自然参数空间为由于有内点，因此为完备统计量.证明：为完备统计量.例2.6.2设X1,X2,…,Xn是来自两点分布总体B(1,?)的样本，证明
例2.6.3样本分布族的自然形式为设是从正态总体参数空间中抽取的样本，则为完备统计量.其中证明：
自然参数空间为由于自然参数空间有内点，因此,为完备统计量.由于与为一一对应的变换.因此也是完备统计量.
下面给出如何验证一个统计量不是完备统计量的例子.的充分性已证.下面证明其不是完备统计量.要证明一个统计量T(X1,X2,…,Xn)不是完备统计量，只要找到一个实函数?(t)，使得但是不成立即可.证明:是充分统计量，但不是完备统计量.例2.6.4设X1,X2,…,Xn是来自均匀分布U[?-1/2，?+1/2]的样本，则
与?无关.的分布也与?无关.定义令则因此且
则易见?(t)满足但是按照定义不是完备统计量.
作业：P6848，51
作业：第2章习题2.6：1，3，5，6，7，10第1章第2章内容总结要求：通过可视化的图谱或者思维导图等形式将第1章第2章的核心知识点联结成一体.电子版:以“序号+学号+姓名”命名的文件提交.目的：将所学知识内容联接成一体,建立统计思想.
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