有关正态分布的解释.ppt

频数分布图二第5页,共27页，星期六，2024年，5月频数分布图三第6页,共27页，星期六，2024年，5月正态分布图四第7页,共27页，星期六，2024年，5月正态分布的数理统计学概念：如果随机变量（X）的概率密度函数为：-∞＜x＜+∞则该随机变量服从正态分布。式中σ为总体标准差；μ为总体均数；π为圆周率，即3.14159···；e为自然对数的底，即2.71828···。第8页,共27页，星期六，2024年，5月若某一随机变量的概率密度函数（频率曲线方程）为上式，则称该变量X服从参数为μ和σ的正态分布，记为：X～N（μ,σ2）。函数方程中μ为位置参数，σ为形状参数。在σ不变的情况下，函数曲线形状不变，若μ变大时，曲线位置向右移；若μ变小时，曲线位置向左移。在μ不变的情况下，函数曲线位置不变，若σ变大时，曲线形状变的越来越“胖”和“矮”；若σ变小时，曲线形状变的越来越“瘦”和“高”。第9页,共27页，星期六，2024年，5月若某一随机变量X，其总体均数μ=0,总体标准差σ=1，即X～N（0,1）,则称变量X服从标准正态分布。习惯把服从标准正态分布的变量用字母U或Z表示，此时，我们把U或Z称为标准正态变量。标准正态分布是正态分布中的一个典型分布，数理统计上证明：对一服从正态分布的随机变量（X），若进行特定的变量变换，可将任何一服从正态分布的随机变量（X）转变成服从标准正态分布的随机变量（U或Z），这种变量变换过程称为变量的标准化，也称为U或Z变换。式中符号意义如前述。第10页,共27页，星期六，2024年，5月正态分布的特征及其面积规律正态分布曲线位于横轴上方，呈钟形。正态分布曲线以均数所在处最高，且以均数为中心左右对称。第11页,共27页，星期六，2024年，5月正态分布曲线由两个参数决定，即总体均数μ和总体标准差σ。在σ不变的情况下，函数曲线形状不变，若μ变大时，曲线位置向右移；若变小时，曲线位置向左移，故称μ为位置参数。在μ不变的情况下，函数曲线位置不变，若σ变大时，曲线形状变的越来越“胖”和“矮”；若σ变小时，曲线形状变的越来越“瘦”和“高”，故称σ为形态参数或变异度参数。N（μ，0.52）、N（μ，12）、N（μ，22）N（μ1，σ2）、N（μ2，σ2）第12页,共27页，星期六，2024年，5月正态曲线下面积分布有一定的规律性。对于服从正态分布的随机变量（X），随机变量值出现在某一区间（x1,x2）的概率与正态分布概率密度曲线与横轴在该区间所围成的区域的面积大小相对应（相等）。正态分布概率密度曲线与横轴围成的区域的总面积恒等于1。正态分布概率密度曲线下横轴上一定区间的面积可应用数学知识求出。在实际应用中，由于所有正态分布都可以通过变量变换转变为标准正态分，为了省去积分计算不同正态分布曲线下横轴上一定区间面积的繁琐过程，所以数理统计学家专门编制了标准正态分布曲线下横轴上一定区间面积分布表，供查表求标准正态分布曲线下一定区间面积。第13页,共27页，星期六，2024年，5月标准正态分布标准正态分布曲线下对称于0的区间，面积相等，各占50%，即左右各为0.5。标准正态分布曲线的纵坐标与面积关系图即纵坐标从－∞移到u所对应区域的面积为上图红色区域面积的大小，这样一个区域的面积我们用Ф(u)表示，可通过查标准正态分布曲线面积分布表得到Ф(u)的大小。u值查表所对应的面积是区间(-∞，u)所对应的面积，即Ф(u)。若u=-1.96，那么Ф(-1.96)则表示从－∞移到－1.96所对应区域的面积，通过查标准正态分布曲线面积分布表得到Ф(-1.96)=0.025。第14页,共27页，星期六，2024年，5月u?u?指单侧U界值，也称随机变量U的上侧α分位数。其意义为：从到+∞这一侧的面积为α,也即在随机变量U的所有取值中，有100α的值比大，有100（1-α）的值比小。第15页,共27页，星期六，2024年，5月u?/2第16页,共27页，星期六，2024年，5月第17页,共27页，星期六，2024年，5月第18页,共27页，星期六，2024年，5月第19页,共27页，星期六，2024年，5月当有一随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），若要求某一区间（x1,x2）的曲线与横轴围成的面积时，无须运用积分学知识求从x1移到x2所对应区域的面积大小来得到这一区间所对应的面积。此时，我们可以通过变量变换，把X转变成u，即把一般的正态分布变换为标准正态分布，通过求标准正态分布区间