专题05 期末解答压轴题（解析版）.docx

专题05期末解答压轴题

新定义题型

1．（2023上·上海徐汇·高一统考期末）已知函数，，若存在常数k（），使得对定义域D内的任意（），都有成立，则称函数在其定义域D上是“k-利普希兹条件函数”

(1)判断函数①，②是否是“1-利普希兹条件函数”，若是，请给出证明；若不是，请说明理由；

(2)若函数（）是“k-利普希兹条件函数”，求常数k的最小值；

(3)若是定义在闭区间上的“2-利普希兹条件函数”，且，求证：对任意的都有．

【答案】(1)是，不是

(2)

(3)证明见解析

【分析】（1）证明即可判断，举出反例即可判断；

（2）分离参数，将不等式变为关于的不等式,结合定义域即可求得常数的最小值；

（3）对任意的都有，只需要即可，根据新定义求出即可得出答案.

【解析】（1）对于函数，

不妨设，则，符合题意，

所以函数是“1-利普希兹条件函数”，

对于函数，

因为，

所以函数不是“1-利普希兹条件函数”；

（2）若函数（）是“利普希兹条件函数”，

则对定义域内任意（），均有，

即，

设，

则，即，

因为，

所以，所以

所以的最小值为；

（3）设，

当时，

因为是定义在闭区间上的“2-利普希兹条件函数”，

所以，

当时，由，得，

故

恒成立，综上所述，，

【点睛】关键点点睛：本题考查了函数新定义问题，解决本题的关键在于理解“k-利普希兹条件函数”.

2．（2023上·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）若定义在区间上的函数满足：存在常数，使得对任意的，都有成立，则称为一个有界变差函数，并将满足条件的的最小值称为的全变差.

(1)判断函数，和（为有理数集）是否为有界变差函数；（无需说明理由）

(2)求函数的全变差；

(3)证明：函数是上的有界变差函数.

【答案】(1)是有界变差函数,不是有界变差函数；

(2)2；

(3)证明见解析.

【分析】（1）根据已知定义判断即可;

（2）根据全变差定义结合单调性,把差的绝对值去掉求解可得;

（3）根据有界变差函数定义结合单调性,把差的绝对值去掉求解可得;

【解析】（1）由在上递减，

令，则，

显然，存在，使任意的，都有成立，

所以为一个有界变差函数；

对于，令，所得中有理数、无理数都有可能为无限个，

若以无理数、有理数成对依次出现时随n的变大趋向于正无穷大，

所以不是一个有界变差函数.

（2）对任意的，

在上单调递减，所以，

即，

在上单调递增，所以，

即，

所以，

所以，存在使成立，

则称为一个有界变差函数，的最小值2称为的全变差.

（3）由（2）知：在上是一个有界变差函数，

令，则，而在上，

所以，即，故是有界变差函数；

又在上递增且值域为[0,2]，任意，则，

所以，故存在使，则是有界变差函数，

令，则，

由上可设且均为常数，故，而、均为有界变差函数，

所以为有界变差函数.

【点睛】关键点点睛：根据有界变差函数的定义，结合相关函数的单调性判断无限细分后区间端点函数值差的绝对值小于某一常数是否恒成立.

3．（2023上·上海浦东新·高一上海南汇中学校考期末）设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域为（其中，则称为区间上的“倍缩函数”.

(1)证明：函数为区间上的“倍缩函数”；

(2)若存在，使函数为上的“倍缩函数”，求实数的取值范围；

(3)给定常数，以及关于的函数，是否存在实数，使为区间上的“1倍缩函数”.若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析；

(2)；

(3)答案见解析.

【分析】（1）利用函数的单调性，求出的值域，再结合定义判断作答.

（2）利用函数的单调性，求出的值域，结合定义构造方程，再利用方程有两个不等的正根求解作答.

（3）根据给定条件，可得，再分类去绝对值符号，结合单调性求出值域即可求解作答.

【解析】（1）函数在R上单调递增，则在区间上的值域为，

显然有，

所以函数为区间上的“倍缩函数”.

（2）因为函数在上单调递增，当时，函数在上单调递增，

因此函数是定义域上的增函数，

因为函数为上的“倍缩函数”，则函数在上的值域为，

于是得，即是方程的两个不等实根，

则方程有两个不等实根，

令，则关于的一元二次方程有两个不等的正实根，

因此，解得，当时，函数恒有意义，

所以实数的取值范围是.

（3）常数，函数的定义域为，并且，

假定存在实数，使为区间上的“1倍缩函数”，

则函数在区间上的值域为，由，及知，

因为函数在上单调递增，即，

若，即，则函数在区间上的值域中有数0，矛盾，

若，即，当时，在上单调递减，

有，即，整理得，显然无解，

若，即，当时，在上单调递增，

有，即是方程的两个不等实根且，

而方程，于是得方程在上有两个不等实根，

从而，解得，而，即有，

解方程得：，

所以当时，存在实数，使为区间上的“1倍缩函数”，，

当时，不存在实数