通用版2025版高考数学大一轮复习第18讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式学案理新人教A版.docxVIP

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第18讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式

1.同角三角函数的基本关系式

(1)平方关系:.?

(2)商数关系:.?

2.诱导公式

公式一

公式二

公式三

公式四

公式五

公式六

角

α+2kπ

(k∈Z)

π+α

-α

π-α

π2

π2

正弦

sinα

?

?

sinα

cosα

cosα

余弦

cosα

?

cosα

?

sinα

?

正切

tanα

?

?

-tanα

口诀

函数名不变,符号看象限

函数名变更,符号看象限

记忆

规律

奇变偶不变,符号看象限

常用结论

1.sin(kπ+α)=(-1)ksinα.

2.在△ABC中:

(1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tan(A+B)=-tanC;

(2)sinA+B2=cosC2,cosA+

题组一常识题

1.[教材改编]已知cosα=1213,且α是第四象限角,则sinα的值为

2.[教材改编]已知sinα-2cosα3sinα+5cosα=-

3.[教材改编]已知sinα=33,则cos3π2+

4.[教材改编]求值:sin(-1200°)·cos1290°=.?

题组二常错题

◆索引:平方关系没有考虑角的象限导致出错;扩大角的范围导致出错;不会运用消元的思想;kπ±α的形式没有把k按奇数和偶数进行分类探讨导致出错.

5.已知△ABC中,cosAsinA=-125,则cos

6.已知cos32π+α=-35,且α是第四象限角,则cos(-3π+α)=.?

7.已知sinα+3cosα3cosα-sinα=5,则sin2α-

8.已知A=sin(kπ+α)sinα+cos(k

探究点一三角函数的诱导公式

例1(1)[2024·遵义联考]若sinπ2+α=-35,则cos(2π-α)

A.-35 B.

C.-45 D.

(2)[2024·桂林模拟]已知f(α)=sin(π-α)cos(2π

A.12 B.

C.-12 D.-

?

?

?

[总结反思](1)已知角求值问题,关键是利用诱导公式把随意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解.转化过程中留意口诀“奇变偶不变,符号看象限”的应用.

(2)对给定的式子进行化简或求值时,要留意给定的角之间存在的特定关系,充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化.特殊要留意每一个角所在的象限,防止符号及三角函数名出错.

变式题(1)[2024·广东名校联考]若cosα+π6=45,则sinα-π3=

A.45 B.

C.-35 D.-

(2)[2024·江西六校联考]若点(a,32)在函数y=2x的图像上,则tanaπ3的值为 (

A.3 B.3

C.-3 D.-3

探究点二同角三角函数的基本关系

微点1切弦互化

例2(1)[2024·南充模拟]已知tanα=2,则sinα+cosαsin

A.-3 B.3 C.13 D.-

(2)[2024·贵阳模拟]已知sin(π-α)=-23,且α∈-π2,0,则tan(2π-α

A.255 B

C.52 D.-

?

?

?

[总结反思](1)同角三角函数的基本关系式的功能是依据角的一个三角函数值求其他三角函数值,主要利用商数关系sinαcosα=tanα和平方关系1=sin2α+cos2α;(2)在弦切互化时,要留意推断角所在的象限

微点2“1”的变换

例3(1)[2024·广东六校三联]已知sinπ2+θ+3cos(π-θ)=sin(-θ),则sinθcosθ+cos2θ= ()

A.15 B.

C.35 D.

(2)[2024·武汉调研]已知sinαcosα=310,则tanα=

?

?

?

[总结反思]对于含有sin2x,cos2x,sinxcosx的三角函数求值问题,一般可以考虑添加分母1,再将1用“sin2x+cos2x”代替,然后用分子分母同除以角的余弦的平方的方式将其转化为关于tanα的式子,从而求解.

微点3和积转换

例4[2024·潍坊模拟]若α∈(0,π),sin(π-α)+cosα=23,则sinα-cosα的值为 (

A.23 B.-

C.43 D.-

?

?

?

?

[总结反思]对于sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα这三个式子,利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα可以达到转换、知一求二的目的.

应用演练

1.【微点1】[2024·南昌模拟]已知sinθ=13,θ∈π2,π,则