浙江专用2025版高考数学一轮复习第八章平面解析几何第八节抛物线教案含解析.docVIP

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第八节抛物线

1．抛物线的定义

满意以下三个条件的点的轨迹是抛物线：

(1)在平面内；

(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；

(3)定点不在定直线上．

2．抛物线的标准方程和几何性质

标准方程

y2＝2px

(p＞0)

y2＝－2px

(p＞0)

x2＝2py

(p＞0)

x2＝－2py(p＞0)

p的几何意义：焦点F到准线l的距离

图形

顶点

O(0,0)

对称轴

y＝0

x＝0

焦点

Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))

Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))

Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))

Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))

离心率

e＝1

准线方程

x＝－eq\f(p,2)

x＝eq\f(p,2)

y＝－eq\f(p,2)

y＝eq\f(p,2)

范围

x≥0，y∈R

x≤0，y∈R

y≥0，x∈R

y≤0，x∈R

开口方向

向右

向左

向上

向下

焦半径

(其中P(x0，y0))

|PF|＝x0＋eq\f(p,2)

|PF|＝

－x0＋eq\f(p,2)

|PF|＝y0＋eq\f(p,2)

|PF|＝－y0＋eq\f(p,2)

[小题体验]

1．(2024·杭州七校联考)抛物线C：y＝ax2的准线方程为y＝－eq\f(1,4)，则其焦点坐标为________，实数a的值为________．

解析：由题意得焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))，抛物线C的方程可化为x2＝eq\f(1,a)y，由题意得－eq\f(1,4a)＝－eq\f(1,4)，解得a＝1.

答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))1

2．焦点在直线2x＋y＋2＝0上的抛物线的标准方程为________．

答案：y2＝－4x或x2＝－8y

3．(教材习题改编)抛物线y＝4x2的焦点坐标为__________；准线方程为____________．

解析：抛物线的标准方程为x2＝eq\f(1,4)y，所以焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,16)))，准线方程为y＝－eq\f(1,16).

答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,16)))y＝－eq\f(1,16)

1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．

2．抛物线标准方程中参数p易忽视，只有p＞0才能证明其几何意义是焦点F到准线l的距离，否则无几何意义．

3．抛物线的标准方程的形式要留意，依据方程求焦点坐标或准线方程时，要留意标准形式的确定．

[小题纠偏]

1．平面内到点(1,1)与到直线x＋2y－3＝0的距离相等的点的轨迹是()

A．椭圆 B．双曲线

C．抛物线 D．一条直线

答案：D

2．抛物线8x2＋y＝0的焦点坐标为________．

解析：由8x2＋y＝0，得x2＝－eq\f(1,8)y.

∴2p＝eq\f(1,8)，p＝eq\f(1,16)，∴焦点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,32))).

答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,32)))

eq\a\vs4\al(考点一抛物线定义及应用)eq\a\vs4\al(?重点保分型考点——师生共研?)

[典例引领]

1．(2024·温州十校联考)设抛物线C：y＝eq\f(1,4)x2的焦点为F，直线l交抛物线C于A，B两点，|AF|＝3，线段AB的中点到抛物线C的准线的距离为4，则|BF|＝()

A.eq\f(7,2) B．5

C．4 D．3

解析：选B抛物线C的方程可化为x2＝4y，由线段AB的中点到抛物线C的准线的距离为4，可得|AF|＋|BF|＝8，又|AF|＝3，所以|BF|＝5.

2．已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：(x＋1)2＋(y－5)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值是()

A．4 B．5

C．6 D．7

解析：选B依题意，由点M向抛物线x2＝4y的准线l：y＝－1引垂线，垂足为M1(图略)，则有|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MM1|，结合图形可知|MA|＋|MM1|的最小值等于圆心C(－1,5