通用版2025版高考数学二轮复习第一部分第一层级基础送分专题三不等式讲义理普通生含解析.docVIP

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基础送分专题三不等式

不等式的性质及解法

[题组练透]

1．(2025届高三·南宁二中、柳州中学联考)设ab，a，b，c∈R，则下列式子正确的是()

A．ac2bc2 B.eq\f(a,b)1

C．a－cb－c D．a2b2

解析：选C若c＝0，则ac2＝bc2，故A错；若b0，则eq\f(a,b)1，故B错；不论c取何值，都有a－cb－c，故C正确；若a，b都小于0，则a2b2，故D错．于是选C.

2．已知关于x的不等式(ax－1)(x＋1)0的解集是(－∞，－1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))，则a＝()

A．2 B．－2

C．－eq\f(1,2) D.eq\f(1,2)

解析：选B依据一元二次不等式与之对应方程的关系知－1，－eq\f(1,2)是一元二次方程ax2＋(a－1)x－1＝0的两个根，所以－1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－eq\f(1,a)，所以a＝－2.

3．设p：x2－x－200，q：eq\f(1－x2,|x|－2)0，则p是q的()

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选Ap：由x2－x－200，解得x5或x－4.q：由eq\f(1－x2,|x|－2)0?(1－x2)(|x|－2)0，当x≥0时，可化为(x＋1)(x－1)(x－2)0，解得0≤x1或x2.

当x0时，可化为(x－1)(x＋1)(x＋2)0，解得－1x0或x－2，故eq\f(1－x2,|x|－2)0的解为x－2或－1x1或x2，所以由p?q，但qp，故选A.

4．若不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集，则实数a的取值范围为()

A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(6,5))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(6,5)))

C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，\f(6,5))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(6,5)))∪{2}

解析：选B当a2－4＝0时，解得a＝2或a＝－2，当a＝2时，不等式可化为4x－1≥0，解集不是空集，不符合题意；当a＝－2时，不等式可化为－1≥0，此式不成立，解集为空集．当a2－4≠0时，要使不等式的解集为空集，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－40，,Δ＝?a＋2?2＋4?a2－4?0，))解得－2aeq\f(6,5).综上，实数a的取值范围为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(6,5)))，故选B.

5．若不等式x2＋ax－20在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是________．

解析：由Δ＝a2＋80，知方程x2＋ax－2＝0恒有两个不等实数根，又知两根之积为负，所以方程x2＋ax－2＝0必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f(5)＞0，解得a＞－eq\f(23,5)，故a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,5)，＋∞)).

答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,5)，＋∞))

[题后悟通]

快审题

1.看到有关不等式的命题或结论的判定，想到不等式的性质．

2.看到解不等式，想到求解不等式的方法步骤．

准解题

1.明确解不等式的策略

(1)一元二次不等式：先化为一般形式ax2＋bx＋c0(a0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集．

(2)含指数、对数的不等式：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解．

2.驾驭不等式恒成立问题的解题方法

(1)f(x)a对一切x∈I恒成立?f(x)mina；

f(x)a对一切x∈I恒成立?f(x)maxa.

(2)f(x)g(x)对一切x∈I恒成立?f(x)的图象在g(x)的图象的上方．

(3)解决恒成立问题还可以利用分别参数法，肯定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．利用分别参数法时，常用到函数单调性、基本不等式等．

避误区

解形如一元二次不等式ax2＋bx＋c0时，易忽视系数a的探讨导致漏解或错解，要留意分a0，a0进行探讨.

简洁的线性规划问题

[题组练透]

1．(2025届高三·重庆调研)若实数x，y满意约束条件eq