湖北省部分重点中学2024届高三上学期第一次联考数学试题.docx

湖北省部分重点中学2024届高三第一次联考

高三数学试卷

命题学校：武汉市第三中学命题教师：孙培培审题教师：刘小兵

考试时间：2023年11月8日下午14：00—16：00

试卷满分：150分

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，集合，则（）

A． B． C． D．

2．若复数满足，则的虚部为（）

A． B． C． D．

3．设，，，，则是的（）条件

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要

4．的展开式中的系数为（）

A． B．25 C． D．5

5．已知，若，则（）

A． B． C． D．

6．已知圆：与双曲线：，若在双曲线上存在一点，使得过点所作的圆的两条切线，切点为，，且，则双曲线的离心率的取值范围是（）

A． B． C． D．

7．已知函数，且，则实数的取值范围是（）

A． B． C． D．

8．设，，已知函数，有且只有一个零点，则最小值为（）

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．下列说法正确的是（）

A．某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，这组数据的第70百分位数为8

B．对于随机事件与，若，，则事件与独立

C．若随机变量，，若最大，则

D．设随机变量服从正态分布，若，则

10．已知，，直线：，：，且，则（）

A． B． C． D．

11．正方体棱长为4，动点、分别满足，其中，且，；在上，点在平面内，则（）

A．对于任意的，且，都有平面平面

B．当时，三棱锥的体积不为定值

C．若直线到平面的距离为，则直线与直线所成角正弦值最小为．

D．的取值范围为

12．如图过抛物线：的焦点作两条互相垂直的直线，，与相交于，两点，与相交于，，、分别是弦和弦的中点，则下列说法中正确的是（）

A．若点，则周长的最小值为

B．的最小值为

C．最小时，

D．和面积之和的最小值为8

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，若函数是偶函数，则________．

14．已知函数是上的奇函数，，都有成立，则________．

15．若函数在处的切线与的图像有三个公共点，则的取值范围________．

16．2022年第二十四届北京冬奥会开幕式上由96片小雪花组成的大雪花惊艳了全世界，数学中也有一朵美丽的雪花——“科赫雪花”．它的绘制规则是：任意画一个正三角形，并把每一条边三等分，以三等分后的每边的中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，形成雪花曲线．重复上述两步，画出更小的三角形，一直重复，直到无穷，形成雪花曲线，，，，．

设雪花曲线周长为，面积为．若的边长为3，则________；________．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题共10分）已知中，角，，所对的边分别为，，，满足

（1）求的大小；

（2）如图，，在直线的右侧取点，使得，求为何值时，四边形面积的最大，并求出该最大值．

18．（本小题共12分）如图，在三棱台中，平面平面，，，，．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的平面角的余弦值．

19．（本小题共12分）已知正项数列的前项和，满足：．

（1）求数列的通项公式；

（2）记，设数列的前项和为，求证．

20．（本小题共12分）2023年10月5日晚，杭州亚运会女篮决赛的巅峰对决中，中国女篮以战胜日本女篮，成功卫冕亚运会冠军，大快人心，表现神勇，为国家和人民争了光．某校随即开展了“学习女篮精神，塑造健康体魄”的主题活动，在该活动的某次篮球训练课上，进行了一场、、3名女篮队员的传接球的训练，球从手中开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能被接住．记第次传球之前球在手中的概率为，易知，．

（1）①求第5次传球前，球恰好在手中的概率；

②第次传球前球在手中的概率为，试比较与的大小．

（2）训练结束，体育老师为了表扬队员们精彩的表现和取得的进步，组织了一场“摸球抽奖”活动，先在一个口袋中装有个红球（且）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．若设三次摸奖（每次摸奖后球放回）恰好有一次中奖的概率，当取何值时，最大?

21．已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）设，，是函数的两个极值点，证明：恒成立．

22．（