数学物理方法(第3版)课件：复变函数引论.pptx

《数学物理方法》(第3版)

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复变函数引论

本章对复变函数作了概论式的介绍。

首先在1.1中对高中所学过的复数作了简单的回顾和拓展，介绍了复变函数概念、复幂级数、复变函数的极限和连续性；

接着在1.2讨论了初等复变函数、反函数；

然后在1.3和1.4中引入复变函数的分析运算，即导数和积分运算，重点放在解析函数的求导方法与积分求解；

从1.5开始讨论复变函数的级数，包括如何将复变函数展开成幂级数、罗朗级数，并且引入了留数的概念。

本章内容是针对如何将复变函数应用到工程和物理问题中而写的，省略了复变函数中的很多精彩内容，为了叙述的简洁和连续，对部分定理和结论的证明过程作了简化。对这方面有兴趣的读者，可以进一步阅读复变函数的专著。;

复变函数引论

§1.1复数与复变函数§1.2初等复变函数与反函数§1.3复变函数的导数与解析函数§1.4复变函数的积分§1.5解析函数的高阶导数和泰勒级数§1.6罗朗级数与留数§1.7留数在定积分中的应用;

1.1复数与复变函数

§1.1.1复数表示法§1.1.2复数的运算规则§1.1.3复变函数的概念§1.1.4复多项式与复变函数的幂级数;

复数定义：z=x+jy为复数，其中j=一1是虚数单位，x和y都是实数。

x是复数z的实部，记为x=Rez；y是复数Z的虚部，记为y=Imz。当x=0时，z=jy称为纯虚数；称z=x一jy是x+jy的共轭复数。

相等定义：两个复数只有它们的实部、虚部分别相等时才相等。

复数的向量表示法：图1.1的复平面上M点对应了复数z，横轴称为实轴，纵轴称为虚轴。复数z=x+jy与向量OM互相对应。

注意：复数0与零向量对应。;

z的辐角:Argz=9

主辐角argz:z的所有辐角中介于与之间(包括)的那一个，记作;

一个不为0的复数z=x+jy，它的主辐角可用下式表示

x

argz=〈arctan+,x0,y0

复数z=0对应零向量，它没有确定的方向，其辐角9是不确定的。;

Argz与argz的关系是

Argz=argz+2k(k是任意整数)复数的三角表示式：z=x+jy=r(cos9+jsin9);

1.1.2复数的运算规则

两个复数z1=x1+jy1、z2=x2+jy2的复数运算规则如下：加法规则：z1士z2=(x1士x2)+j(y1士y2)

乘法规则：z1.z2=(x1+jy1).(x2+jy2)=(x1x2-y1y2)+j(y1x2+x1y2)

z1.z2=(r1ej91)(r2ej92)=r1r2ej(91+92)=r1r2cos(91+92)+jsin(91+92)除法规则：==+j(z2才0)

222;

乘方运算：zn=(rej9)n=rnejn9=rn(cosn9+jsinn9)(1.1-7)

开方运算：记n为正整数，在z丰0时wn=z，开方后

11

w=zn=rej(2k+9)n

w=rcos+jsin，(k=0,1,2,…,n-1)(1.1-8);

复变函数的极限和连续的定义：对于预先给定的任意小的正数c0，总存在正数6，只要0z一z06，就有f(z)一wc，则称w是z趋近于z0时f(z)的极限，

记为

lzf(z)