广西钦州市第四中学2025届高三上学期第12月考试数学试题（含答案）.docxVIP

广西钦州市第四中学2025届高三上学期第12月考试数学试题

[第I卷]

一、单选题（5×8=40分）

1．已知集合，，则（????）

A． B． C． D．

2．已知正实数a，b满足，则（????）

A． B． C． D．

3．已知集合，，则（????）

A． B． C． D．

4．已知集合，，则（???）

A． B． C． D．

5．不等式的最小整数解为（???）

A． B． C． D．

6．函数的最大值为（????）

A．1 B． C．2 D．

7．已知集合，，则等于（????）

A． B． C． D．

8．“”是“”的（????）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

二、多选题（?5×3=15分）

9．下列命题中，是命题的充分条件的有（???）

A．B．C． D．

10．已知，，且不等式恒成立，则的取值可能是（????）

A． B． C． D．

11．已知，且，则（????）

A．B．C．无最小值，只有最大值为4 D．的最小值为12

[第II卷]

三、填空题（?5×3=15分）

12．设，若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，则实数的取值范围是.

13．已知集合，则．

14．已知集合，写出满足条件的整数的一个值.

四、解答题（?80分）

15．已知集合，不等式的解集为.

(1)求：

(2)集合，写出集合的所有子集；

(3)集合，若，求实数的取值范围.

16．在数列中，若满足：对于，都有，则称数列为“类差数列”.

(1)设为等差数列的前项和，已知，若数列是“类差数列”，且恒成立，求的最大值；

(2)已知等比数列是“类差数列”，且，数列不是“类差数列”，设，若数列是“类差数列”：

①求数列的通项公式；

②证明：数列中任意三项都不构成等差数列.

17．柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的一般形式为：设，则当且仅当或存在一个数，使得时，等号成立.

(1)请你写出柯西不等式的二元形式；

(2)设P是棱长为的正四面体内的任意一点，点到四个面的距离分别为、、、，求的最小值；

18．每个正整数有唯一的“阶乘表示”为（，，…，），这些满足，其中每个都是整数，且，.

(1)求正整数3，4，5，6的“阶乘表示”；

(2)若正整数对应的“阶乘表示”为（，，…，），正整数对应的“阶乘表示”（，，…，），其中，求证：；

(3)对正整数，记，表示不超过的最大整数，数列前项和为，若，当最小时，求的值.

19．已知集合，其中且，若对任意的，都有，则称集合具有性质.

(1)若集合具有性质，求的最小值；

(2)已知集合具有性质，求证：

①对任意的都有；???

②；

(3)已知集合具有性质，求集合中元素个数的最大值，并说明理由.

参考答案：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

B

B

A

C

C

B

A

BC

BCD

题号

11

答案

ACD

12．13．14．中的任何一个值.

15．(1)

(2)，，，，，，，(3)

16．（1）设数列的公差为，为正整数.

一方面，若数列是“类差数列”，则.

同时我们有，从而，此即，即.

假设，则在时有，矛盾，所以.

再由，就得到，所以.

另一方面，当时，取，则，且

.

故存在数列满足条件.

综合以上两方面，可知的最大值是.

（2）①：设等比数列的公比为，则.

是“类差数列”，且，故，，故数列为无穷递增数列，且，即.

由，且，知为大于的有理数.

下面先用反证法证明公比是正整数：

假设不是正整数，由且为有理数，知存在，，且互质，使得.

由，有为正整数，即整除.???而互质，故互质，而整除，故整除.

这表明恒为正整数，从而恒成立，但，从而这在时是不可能的，矛盾.

所以假设不成立，从而公比是正整数.

假设，则，从而.

这表明是“类差数列”，与条件矛盾，所以.

又因为是“类差数列”，故，从而结合是正整数，知.

再由数列是“类差数列”，知，所以，此即，故.

从而，所以，再由可知是的正因数，所以只可能，即.

故，即，这就得到，所以.

当，时，由，，可知满足条件.

由于对有，而，故恒成立.

而，故满足条件.

所以的通项公式为.

②：由①知，故，从而，且由立得.

假设构成等差数列，其中，则由可知.

而，结合可知，矛盾.

所以数列中任意三项都不构成等差数列.

17．（1）由题意，柯西不等式的二元形式为：

设，则，

当且仅当时等号成立.

（2）取的中点，连接，则⊥，

过点作⊥平面，则点在上，且，

因为，由勾股定理得，

，故，

则正四面体的体积，

由正四面体