2025年中考数学几何模型归纳训练专题13等腰（等边）三角形中的重要模型之维维尼亚模型解读与提分精练（全国版） .pdf

专题13等腰(等边)三角形中的重要模型之维维尼亚模型

维维亚尼定理(Vivianis血orem):在等边三角形内任意一点尸到三边的垂直距之和，等于该等边

三角形的高。这个定理可一般化为：等角多边形内任意一点尸跟各边的垂直距之和，是不变的，跟该点

的位置无关。它以温琴佐•维维亚尼命名。

而今天我们要学习的维维亚尼模型就是维维亚尼定理及其拓展，它的证明主要利用了等面积法，消去

相等底边后得到高之间的关系，因此等腰三角形的维维亚尼模型动点只能在底边所在直线上运动，此时连

接点和底边所对顶点，能江原图分割成两个底相等的三角形。

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例题讲模型］

2

模型1.等边三角形中维维尼亚模型2

模型2.等腰三角形中维维尼亚模型4

习题练模型］

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例题讲模型］

模型1.等边三角形中维维尼亚模型

模型解读

条件：在等边NABC中，尸是平面上一动点，过点尸作PELAC,PFLBC,PD±AB,过点A作AM±BCO

结论：①如图1,若动点F在三角形ABC内时，则PD+PE-^PFAM；

②如图2,若动点F在三角形ABC外时，则PD+PE-PFAMO

（当点尸在三角形ABC外时，受P的位置影响，不同的位置结论稍有不同，但都可以使用等面积法证明）。

模型证明

证明：①如图1,连结AP,BP,CPo•.*NABC是等边三角形，.*.AB=BC=AC,

则SABCSABP+SBCP+Sacp：ABPD+LbCPF+LaCPELbC(PD+PF+PE)，

D^r尸22/

.S曷c=S+SBCP+SACP—BC-AM；••PD+PE+PF—AMo

②如图3,连结AP,BP,CPo•.*NABC是等边三角形，:.ABBCCA,

贝Us施。=sabp+5acp-Sbcp?ABPD+?ACPE*CPF?BC(PD+PE—PF)，

5削=s硕+5g-5洞^BCAM；:.PD^PE-PFAMO

模型运用

例1.（2024-河北•二模）如图，P为边长为2的等边三角形ABC内任意一点，连接B4、PB、PC,过尸点

分别作BC、AC.AB边的垂线，垂足分别为D、E、F,则PQ+P+P等于（）

C.2D.2^3

例2.（2024八年级•广东•培优）如图，点尸为等边aABC外一点，设点P到三边的距PDhi,PEh2,PFh.,

且九―处+=6,贝JABC的面积等于（）

A.40B.6^3C.12^3D.24^3

例3.（23-24八年级上•浙江宁波•期中）如图，P是等边三角形ABC内一点，且PA4,PB2^,PC2,

以下3个结论：①ZBPC=120°；②AB20,③S△硕,=40；④若点P到NABC三边的距分别为P,

PF,PG,贝PE+PF+PG—AB,其中正确的有（）

2

A.4个B.3个C.2个D.1个

例4.(23-24八年级上•云南昆明•期末)如图(1),已知在NABC中，AB=