安徽省合肥市2025届高三第一次教学质量检测数学试题.docx

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安徽省合肥市2025届高三第一次教学质量检测数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，则（????）

A． B．

C． D．

2．设，若为实数，则（????）

A．-2 B． C． D．2

3．记Sn为等差数列的前n项和.若，则（????）

A．9 B．18 C．27 D．36

4．函数的图象大致为（????）

A． B．

C． D．

5．已知向量，满足，且，，，则与的夹角为（????）

A． B． C． D．2π3

6．已知，则（????）

A． B． C．3 D．

7．已知P为圆上的动点(不在坐标轴上)，过P作轴，垂足为Q，将绕y轴旋转一周，所得几何体的体积最大时，线段OQ的长度为（????）

A． B． C． D．

8．已知函数，则的值域为（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．在正方体中，P是棱上的动点(不含端点)，下列说法中正确的有（????）

A．平面 B．

C．四面体的体积为定值 D．存在点P，使得平面平面

10．某同学两次实验得到的数据如下表.实验一所得的样本相关系数为，Y关于x的经验回归方程为；实验二所得的样本相关系数为，u关于v的经验回归方程为，下列结论中正确的是（????）

实验一

x

2

3

4

5

6

y

12

10

9

7

4

实验二

v

4

6

8

10

12

u

8

10

11

13

16

参考公式：样本相关系数，.

A． B． C． D．

11．我们把既有对称中心又有对称轴的曲线称为“优美曲线”，“优美曲线”与其对称轴的交点叫作“优美曲线”的顶点.对于“优美曲线”，则（????）

A．曲线关于直线对称

B．曲线有4个顶点

C．曲线与直线有4个交点

D．曲线上动点到原点距离的最小值为

三、填空题

12．在的展开式中，的系数为(用数字作答

13．袋中有三个相同的小球，用不同数字对三个小球进行标记.从袋中随机摸出一个小球，接着从袋中取出比该小球上数字大的所有小球(不再放回)，并将该小球放回袋中.然后，对袋中剩下的小球再作一次同样的操作，此时袋中剩下2个小球的概率为.

14．已知抛物线的焦点为F，准线为过F的直线交C于A，B两点，过A，B分别作l的垂线，垂足分别为M，N，若，则的面积是面积的倍.

四、解答题

15．记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知

(1)证明：；

(2)若为锐角三角形，求的取值范围.

16．如图，在正三棱台中，，

??

(1)若，证明：平面；

(2)若三棱台的高为，求平面与平面夹角的余弦值.

17．已知函数，其中

(1)讨论的单调性；

(2)若函数有两个极值点，，证明：

18．已知动圆与动圆，满足，记与公共点的轨迹为曲线T，曲线T与x轴的交点记为A，点A在点B的左侧

(1)求曲线T的方程；

(2)若直线l与圆相切，且与曲线T交于，两点(点在y轴左侧，点在y轴右侧

（ⅰ）若直线l与直线和分别交于，两点，证明：；

（ⅱ）记直线，的斜率分别为，，证明：是定值.

19．正整数的划分在置换群及其表示理论研究中有着重要应用.设k，n为正整数.若正整数序列满足，且，，则称为n的一个k部划分.记为n的所有k部划分的个数.

(1)计算：，；

(2)证明：；

(3)证明：

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《安徽省合肥市2025届高三第一次教学质量检测数学试题》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

A

C

A

D

B

C

B

AB

ABD

题号

11

答案

AC

1．C

【分析】先确定集合B，再利用交集运算求解.

【详解】，，

故选：C

2．A

【分析】先计算化简，结合为实数求解.

【详解】因为为实数，

可得

故选：A.

3．C

【分析】利用等差数列的前n项和公式，等差数列的通项公式进行求解即可.

【详解】

，

故选：C

4．A

【分析】结合函数的奇偶性和单调性,利用排除法求解.

【详解】解：由，解得，

所以函数的定义域为，

因为，所以函数为奇函数，排除C项；

设，显然该函数单调递增，故当x0时，，

则当时，，故，

当时，，故，

当时，，故故排除D项；

当时，，故故排除B项，

故选：A.

5．D

【分析】利用向量的数量积公式计算得到，