（上海专用）中考数学一轮复习考点分项练习专题10二次函数综合题（解答题24题）（解析版）.doc

专题10二次函数综合题

一．解答题（共13小题）

1．（2022秋?黄浦区校级期末）已知抛物线y＝ax2+bx﹣8（a≠0）经过A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线y＝ax2+bx﹣8（a≠0）的解析式，并求出顶点P的坐标；

（2）求∠APB的余弦值；

（3）直线y＝kx+4与y轴交于点N，与直线AC的交点为M，当△MNC与△AOC相似时，求点M的坐标．

【分析】（1）根据抛物线y＝ax2+bx﹣8（a≠0）经过A（﹣2，0），B（4，0）两点，列出a和b的二元一次方程组，求出a和b的值即可；

（2）设对称轴直线x＝1与x轴交于点D，过A作AH⊥BP，垂足为H，先求出AB、PD、AP和BP的长，进而求出AH的长，即可求出cos∠APB的值；

（3）△MNC与△AOC相似时，分①∠MNC＝∠AOC＝90°和②∠NMC＝∠AOC＝90°，利用相似三角形的性质以及全等三角形的知识求出点M的坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣8（a≠0）经过A（﹣2，0），B（4，0）两点，

∴，

∴，

∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣8，

∵y＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9，

∴顶点P坐标为（1，﹣9）；

（2）设对称轴直线x＝1与x轴交于点D，过A作AH⊥BP，垂足为H，如图1，

∵A（﹣2，0），B（4，0），P（1，﹣9），

∴AB＝6，PD＝9，AP＝BP＝3，

∵AB×PD＝PB×AH，

∴AH＝，

在Rt△APH中，PH＝＝，

cos∠APB＝＝；

（3）∵∠ACO＝∠MCN，

∴△MNC与△AOC相似时，

①∠MNC＝∠AOC＝90°，如图2：

∴，

∵点C在抛物线上，

∴当x＝0时，y＝8，

∴点C的坐标为（0，﹣8），

∵直线y＝kx+4与y轴交于点N，

∴当x＝0时，y＝4，

∴N点坐标为（0，4），

∴AO＝2，OC＝8，NC＝12，

∴MN＝3，

直线AC的解析式是：y＝﹣4x﹣8，

设M点坐标为（a，4），代入上述解析式中得：a＝﹣3，

∴M（﹣3，4），

②当∠NMC＝∠AOC＝90°时，如图3：

设MN与x轴交于点E，

∴＝，

∵AC＝＝＝2，

∴＝，

∴CM＝，

设M坐标为（n，﹣4n﹣8），

∵CM＝＝，

∴或n＝﹣，

∵M在第二象限，

∴M（﹣，），

综上M点的坐标为（﹣3，4）或（﹣，）．

【点评】本题主要考查了二次函数的综合应用，掌握待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及锐角三角形函数值的定义是解答本题的关键．

2．（2022秋?黄浦区期末）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，y1），B（0，y2），C（l，y3），D（2，y4）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上．

（1）当y1＝0，y2＝y3时，

①求该抛物线的表达式；

②将该抛物线向下平移2个单位，再向左平移m个单位后，所得的新抛物线经过点（1，0），求m的值；

（2）若y2＝0，且y1、y3、y4中有且仅有一个值大于0，请结合抛物线的位置和图象特征，先写出一个满足条件的b的值，再求b的取值范围．

【分析】（1）①根据y1＝0，y2＝y3，可得对称轴为x＝，求出b的值，再根据抛物线经过点A，求出c，从而得出抛物线解析式；

②把①解析式化为顶点式，再根据平移变换得出新抛物线解析式，然后把（0，0）代入解析式即可求出m的值；

（2）根据题意分对称轴在y轴左侧和右侧两种情况讨论即可．

【解答】解：（1）①∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，y1），B（0，y2），C（l，y3），D（2，y4），且y1＝0，y2＝y3，

∴B，C为对称点，对称轴为直线x＝﹣＝＝，

∴b＝1，

∴y＝﹣x2+x+c，

把A（﹣1，0）代入y＝﹣x2+x+c得：﹣1﹣1+c＝0，

解得c＝2，

∴该抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+2；

②∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，

∴把该抛物线向下平移2个单位，再向左平移m个单位后，所得的新抛物线解析式为y＝﹣（x﹣+m）2+﹣2，

∵新抛物线经过点（1，0），

∴﹣（1﹣+m）2+＝0，

解得m＝0或m＝﹣1；

（2）当y2＝0时，抛物线过原点（0，0），

且y1、y3、y4中有且仅有一个值大于0，

当抛物线对称轴在y轴左侧时，且经过原点，即b＜0，此时y3＜0，y4＜0，如图：

∴y1＞0，即当x＝﹣1时，y＞0，

∴﹣1﹣b＞0，

解得b＜﹣1；

当抛物线对称轴在y轴右侧时即b＞0，且经过原点，此时，y1＜0，

若想y1、y3、y4中有且仅有一个值大于0，必然是y3＞0，y4≤0，如图：

∴，

解得1＜b≤2，

综上所述，b的取值范围为b＜﹣1或1＜b≤2．

【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上