人教A版高中数学(必修第二册)考点通关练05 平面向量最值与范围问题5种常见考法归类（解析版）.doc

考点05平面向量最值与范围问题5种常见考法归类

平面向量中的最值或范围问题是根据已知条件求某个变量的范围或最值，比如：向量的模、数量积、向量的夹角、系数的范围等，解决思路是建立目标函数的解析式，转化为求函数的最值，同时向量兼顾数与形的双重身份，所以解决平面向量的范围或最值问题的另外一种思路是数形结合。可根据向量的三角形法则、平行四边形法则，绘制相应的几何图形，将向量之间的关系转化为几何关系，灵活运用平面几何图形的性质，如圆、矩形、三角形、平行四边形的性质，寻找到使目标式取最值的临界情形，从而求得最值。

策略1与向量的模有关的最值或范围问题

与向量的模有关的问题，一般都会用到，有时也会转化为轨迹问题求解。

策略2与向量的夹角有关的最值或范围问题

利用数量积的坐标运算求两向量夹角的步骤

(1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积．

(2)利用|a|＝eq\r(x2＋y2)计算出这两个向量的模．

(3)由公式cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))直接求出cosθ的值．

(4)在[0，π]内，由cosθ的值求角θ.

策略3与平面向量数量积有关的最值或范围问题

一般情况下，如果遇到的问题适合建立平面直角坐标系，则使用“坐标法”解题，如遇到与等腰三角形、平行四边形、矩形、圆等规则平面几何图形有关的问题时，可根据几何图形的特点，建立合适的平面直角坐标系，求得各个点的坐标，各条线段的方向向量，便可通过向量的坐标运算求得目标式，再利用二次函数的性质、基本不等式等求得目标式的最值，即可解题.否则利用平面向量基本定理解题。

（1）数量积的定义

，其中（0≤0≤π）为非零向量的夹角.规定，特别地，

（2）数量积的坐标形式

若，则

（3）常用结论

①若点M为线段AB的中点，则对平面内任意一点O，.

②若四边形ABCD是平行四边形，则，特别的有

（平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和）

③向量极化恒等式：

ⅰ：平行四边形模式：

几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的.

ⅱ：三角形模式：（M为BD的中点）

A

A

B

C

M

④向量三角不等式：

⑤向量柯西不等式：，即

⑥

其中结论1～结论3主要用于数量积求解过程中的向量转化或数量积的恒等变形，结论4～结论6主要用于向量数量积的范围或最值的求解．

策略4与系数有关的最值或范围问题

（1）平面向量共线定理

已知，若，则三点共线；反之亦然。

（2）等和线

平面内一组基底，（λ，μ∈R），若点P在直线AB或与之平行的直线上，则（定值），反之亦然.直线AB或与之平行的直线称为等和线.

当等和线不过点时，，其中为直线OP与AB的交点;

①当等和线恰为直线时，；

②当等和线在点和直线之间时，；

③当直线在点和等和线之间时，；

④当等和线过点时，；

⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数；

注：利用等和线解题的步骤

第一步：确定系数和为的直线；

第二步：平移该直线，结合题目给出动点范围，分析在何处取得最值；

第三步：从长度比，点的位置的角度计算最值。

策略5“动态”向量问题

“动态”向量问题主要研究平面几何中点或线运动时所涉及的线段长度和角度的变化问题，其问题的本质就是考查学生对动点的“轨迹意识”.这类题目的解法有很多，如代数法、几何法，其中几何法中有极化恒等式、“矩形大法”等．

在平行四边形OADB中有以下常用结论，记，

结论1：（极化恒等式）

结论2：若，则

（1）模长式圆模型

若，向量的终点轨迹是以向量的终点为圆心、为半径的圆.（其中向量，共起点且向量是已知向量）

（2）数量积式圆模型

，记，由结论1可知，所以

拓展：①若，其中向量的终点A，B固定，则点C的轨迹是以AB为直径的圆.

②若，其中向量的终点A，B不固定，则点C的轨迹是以AB为直径的动圆.（半径动圆心动）

③在的条件下，何时取到最大值？如图所示，向量在以O为圆心、为半径

的圆上动.固定向量，向量绕着圆心O动，此时，向量的终点轨迹圆的圆心和半径也在随着向量终点A的运动发生改变，由图可知当时，向量的模长取到最大值.

策略6平面向量范围与最值问题常用方法：

主要方法

基本步骤

定义法

第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系

第二步：运用基木不等式求其最值问题

第三步：得出结论

坐标法

第一步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标

第二步：将平面向量的运算坐标化

第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解

基底法

第一步：利用其底转