解答题：概率与统计（10大题型）（解析版）.docx

解答题：概率与统计

题型一：离散型随机变量及其分布列

（23-24高三下·广东佛山·一模）密室逃脱是当下非常流行的解压放松游戏，现有含甲在内的7名成员参加密室逃脱游戏，其中3名资深玩家，4名新手玩家，甲为新手玩家.

(1)在某个游戏环节中，需随机选择两名玩家进行对抗，若是同级的玩家对抗，双方获胜的概率均为；若是资深玩家与新手玩家对抗，新手玩家获胜的概率为，求在该游戏环节中，获胜者为甲的概率；

(2)甲作为上一轮的获胜者参加新一轮游戏：如图，有两间相连的密室，设两间密室的编号分别为①和②.密室①有2个门，密室②有3个门（每个门都可以双向开），甲在每个密室随机选择1个门出去，若走出密室则挑战成功.若甲的初始位置为密室①，设其挑战成功所出的密室号为，求的分布列.

【答案】(1)；(2)分布列见解析

【解析】（1）7人中随机选择2人，共有种情况，其中含甲的情况有种，

6种情况中，甲和资深玩家对抗的情况有3种，和同级的玩家对抗情况有3种，

则甲和资深玩家对抗并获胜的概率为，

和同级的玩家对抗并获胜的概率为，

故在该游戏环节中，获胜者为甲的概率为；

（2）设为甲在密室①，且最终从密室①走出密室，挑战成功的概率，

为甲在密室②，且最终从密室①走出密室，挑战成功的概率，

考虑，需考虑甲直接从号门走出密室或者进入密室②且最终从密室①走出密室，

故①，

考虑，则甲从号门进行密室①，且从密室①走出密室，

故②，

联立①②，可得，

所以，故，

故分布列如下：

1

2

求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：

（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；

（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；

（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算。）

1．（24-25高三上·贵州·月考习）已知甲?乙两人参加某档知识竞赛节目，规则如下：甲?乙两人以抢答的方式答题，抢到并回答正确得1分，答错则对方得1分，甲?乙两人初始分均为0分，答题过程中当一人比另

一人的得分多2分时，答题结束，且分高者获胜，若甲?乙两人总共答完5题时仍未分出胜负，则答题直接结束，且分高者获胜.已知甲?乙两人每次抢到题的概率都为，甲?乙两人答对每道题的概率分别为，每道题两人答对与否相互独立，且每题都有人抢答.

(1)求第一题结束时甲获得1分的概率；

(2)记表示知识竞赛结束时，甲?乙两人总共答题的数量，求的分布列与期望.

【答案】(1)；(2)分布列见解析，

【解析】（1）设每道题的抢答中，记甲得1分为事件.

发生有两种可能：抢到题且答对，乙抢到题且答错，

∴，

∴甲率先得1分的概率为.

（2）由（1）知，在每道题的抢答中甲、乙得1分的概率分别为，

设两人共抢答了道题比赛结束，根据比赛规则，的可能取值为.

，

，

，

2

4

5

.

2．（24-25高三上·北京·月考习）某校举办知识竞赛，已知学生甲是否做对每个题目相互独立，做对三道题目的概率以及做对时获得相应的奖金如表所示.

题目

A

做对的概率

获得的奖金/元

20

40

80

规则如下：按照的顺序做题，只有做对当前题目才有资格做下一题.

[注：甲最终获得的奖金为答对的题目相对应的奖金总和.]

(1)求甲没有获得奖金的概率；

(2)求甲最终获得的奖金的分布列及期望；

(3)如果改变做题的顺序，最终获得的奖金期望是否相同？如果不同，你认为哪个顺序最终获得的奖金期望最大？（不需要具体计算过程，只需给出判断）

【答案】(1)；(2)分布列见解析，40（元）；(3)不同，按照的顺序获得奖金的期望最大，理由见解析.

【解析】（1）甲没有获得奖金，则题目A没有做对，

设甲没有获得奖金为事件，则.

（2）分别用表示做对题目的事件，则相互独立.

由题意，的可能取值为.

;

.

所以甲最终获得的奖金的分布列为

0

20

60

140

（元）.

（3）不同，按照的顺序获得奖金的期望最大，理由如下：

由（2）知，按照的顺序获得奖金的期望为40元，

若按照的顺序做题，

则奖金的可能取值为.

;

.

故期望值为元；

若按照的顺序做题，

则奖金的可能取值为.

;

.

故期望值为元；

若按照的顺序做题，

则奖金的可能取值为.

;

.

故期望值为元，

若按照的顺序做题，

则奖金的可能取值为.

;

.

故期望值为元，

若按照的顺序做题，

则奖金的可能取值为.

;

.

故期望值为元，

显然按照的顺序获得奖金的期望最大.

题型二：超几何分布与二项分布

（24-25高三上·北京·期中）某种产品按照产品质量标准分为一等品?二等品?三等品?四等品四个等级，某采购商从采购的该种产品中随机抽取100件，根据产品的等级分类得到如下数据：

等级

一等品