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重温傅里叶—笔记篇

本文记录的大多是基础的公式，还有一些我认为比较重要的有参考价值的说明。（如果对这

些公式已经很熟悉，可以直接看第三部分：总结性说明）

重温傅里叶—笔记篇

一、傅里叶级数

$关于三角函数系的正交性：

三角函数系包括：

1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,……cosnx,sinnx,……

正交性“”是说，三角函数系中的任何一项与另一项的乘积，在(-π,π)区间内的积分为

0。（任何两相的积总可以展成两个频率为整数倍基频的正余弦函数之和或差，而这两个展

开后的正余弦在(-π,π)上积分都为0）。

不同频率（但都是整数倍基频）的两个正弦函数之积，在(-π,π)上积分恒为0。

同频率的两个正弦函数之积，只有在这两个正弦的相位正交时，其在(-π,π)上积分才

是0。

三角函数系中除1“”以外的任何一项的平方，在(-π,π)上的积分恒为π，1“”在这个区间

上的积分为2π。

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$

上公式!

①当周期为2π时：

式（1）：

上式成立的条件是f(x)满足狄立克雷充分条件：

1.在任意有限区间内连续，或只有有限多个第一类间断点；

2.任意的有限区间，都可被分成有限多个单调区间（另一种说法是：任意有限区间内只

有有限多个极值点，其实是一样的）

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式（1）第一行中的a/2就是f(x)的周期平均值，而且第一行的式子只对f(x)是连

0

续函数的情况成立；如果f(x)不连续，则应表示成“(1/2)×[f(x-0)+f(x+0)]”，即f(x)左右极

限的算术平均。下面的类似情况都是这样，之后就不再专门说明，这些大家应该都懂。

第三、四行中，n的取值都是：1，2，3，4，……n，……（都为正，且不包含0）。

②当周期为2L时（这也是最一般的情形）：

式（2）：

第一行中的a/2就是f(x)的周期平均值；

0

第三、四行中，n的取值都是：1，2，3，4，……n，……（都为正，且不包含0）。

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$傅里叶级数的复数表达方式

同样设周期为2L。根据欧拉公式，正余弦函数都可以用复指数表示出来。这样上面式

（2）中的第一行：

可以表示为：

令：

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