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信号与系统中时域频域的对称性

【摘要】时域分析和频域分析是信号与系统中两个十分重要的

分析角度，两者紧密联系，有着严格而又奇妙的对称性。本文在介

绍时域、频域基本概念的基础上，总结了其几点对称性：时域频域

波形变化的快慢趋势是相反的；时域频域波形的宽度成反比；一个

域的卷积对应的是另外一个域的乘积，一个域的离散化对应的是另

外一个域的周期延拓。点明了这些对称性研究的意义，并举例进行

了说明。

【关键词】信号与系统；时域；频域；对称性

引言

信号与系统的是一个十分普遍的概念，广泛出现在各种领域中，

与这些概念有关的思想和方法在很多科学和技术领域起着十分重

要的作用，例如在通信、航天航空、电路设计、地震学、生物工程、

语音处理等方面。信号与系统这门课程是电气工程类的专业基础课

程，是后续诸如通信原理、自动控制原理等课程的基础。作为该课

程核心的一些基本概念和方法，对于所有工程类的专业来说都很重

要，其在复杂过程分析方面潜在的和实际的应用都在一直在扩大。

因此信号与系统方面的课程不仅是工程教学中一门最基本的课程，

而且也能够成为工程类学生在大学阶段所修课程中最有得益而又

引人入胜和最有用处的一门课[1]。

信号与系统这门课程的核心内容是信号、系统、及信号作用于

系统的响应，在内容体系上具有很强的逻辑性。一般情况下是先介

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绍信号，然后介绍系统特性，接下来是研究信号作用系统的响应，

分别从时域、频域、复频域和z域等角度对离散和连续的信号、系

统进行研究。这些不同的领域之间并非是独立的，而是有着密切的

联系，有着很严格、很奇妙的对称性。本文就其中的时域和频域之

间的对称性进行简单的总结和说明。

1信号与系统时域的基本概念

信号与系统的时域分析，主要是从时域的角度出发，研究信号

与系统的变化规律。对于具体的信号而言就是以时间t为变量，研

究信号的幅值随时间变化的规律，例如最常见的三角信号、指数信

号、及冲激信号等。对于系统的时域特性分析，主要是通过研究系

统的单位冲激响应h（t）时域特性，来研究系统的特性。时域研究

的优点是比较直观，和我们实际生活中直观印象比较吻合。

2信号与系统频域的基本概念

信号与系统的频域分析，主要是通过傅里叶变换，把时域信号

转换到频域。本质上是把信号分解成不同频率的正弦分量的线性组

合，说的再通俗点，就是将一个信号分解成一些跑的快的和跑的慢

的信号的组合，然后通过研究频谱分布来研究信号的特性。系统的

频域分析主要是研究系统的频率响应函数h（jω）的幅度谱和相位

谱，进而来研究系统的特性。

3时域和频域之间的对称性

系统时域和频域之间有着很奇妙的对称性，掌握了这些对称性，

更有利于深刻而透彻的理解信号与系统这样一门课程，而且可以更

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好的结合实际生活情景去理解那些抽象的理论，可以更加灵活的应

用其中的一些知识。

（2）时域信号的波形宽度和频谱宽度之间的对称性。信号在时

域若持续的时间越长，其频谱宽度越窄，反之若时域信号持续时间

越短，其对应的频谱宽度越宽。举个最极端的例子：时域的单位冲

激信号，其频谱在频域里面是一条水平的直线，也就说时域的宽度