2023年经济数学基础线性代数之行列式.doc

第一单元行列式的定义

一、学习目的

通过本节课学习，理解行列式的递归定义，掌握代数余子式的计算，知道任何一个行列式就是代表一个数值，是可以通过特定的运算得到其结果的．

二、内容讲解

行列式

行列式的概念

什么叫做行列式呢？譬如，有4个数排列成一个行方块，在左右两边加竖线。即称为二阶行列式；

有几个概念要清楚，即

上式中，横向称行，共有两行；竖向称列，共有两列；

一般用表达第行第列的元素，如上例中的元素，，，．

再看一个算式称为三阶行列式，其中第三行为5，-7，0；第二列为–1，2，-7；元素，

又如，是一个四阶行列式．

而的代数余子式为

代数余子式就是在余子式前适当加正负号，正负号的规律是-1的指数是该元素的行数加列数．

问题思考：元素的代数余子式是如何定义的？?代数余子式由符号因子与元素的余子式构成，即

三、例题讲解

例题1：计算三阶行列式

分析：按照行列式的递归定义，将行列式的第一行展开，使它成为几个二阶行列式之和，二阶行列式可以运用对角相乘法，计算出结果．

解：

四、课堂练习

计算行列式

运用阶行列式的定义选择答案．

将行列式中的字母作为数字对待，运用递归定义计算．注旨在该行列式的第一行中，有两个零元素，因此展开式中相应的两项不用写出来了．

=+

五、课后作业

1.求下列行列式的第二行第三列元素的代数余子式

（1）???????????????（2）????

2．计算下列行列式

（1）?????????????（2）??

3．设

（1）由定义计算；

（2）计算，即按第二行展开；

（3）计算，即按第三行展开；

（4）按第四行展开．

1．（1）??????（2）

2．（1）20???（2）24?

3．（1）1???（2）1???（3）1???（4）1

第二单元行列式的性质

一、学习目的

通过本节课的学习，掌握行列式的性质，并会运用这些性质计算行列式的值．

二、内容讲解

行列式的性质

用定义计算行列式的值有时是比较麻烦的，运用行列式的性质可以使计算变的比较容易了．

行列式的性质有七条，下面讲一讲几条常用的性质．在讲这些性质前，先给出一个概念：

把行列式D中的行与列按原顺序互换以后得到的行列式，称为D的转置行列式，记为．

如,

1．行列式的行、列互换，其值不变．如

这条性质说明行列式中，行与列的地位是同样的．

2．行列式的两行互换，其值变号．如

3．若行列式的某一行有公因子，则可提出．如

注意：一个行列式与一个数相乘，等于该数与行列式的某行（列）的元素相乘．

à+2á4．行列式对行的倍加运算，其值不变．如倍加运算就是把一行的常数倍加到另一行上???????

à+2á

注意：符号“à+2á

问题1：将n阶行列式的最后一行轮换到第一行，这两个行列式的值有什么关系？答案设n阶行列式，若将的最后一行轮换到第一行，得另一个n阶行列式，那么这两个行列式的值的关系为：=

问题2：假如行列式有两行或两行以上的行都有公因子，那么按性质3应如何提取？答案按顺序将公因子提出.

三、例题讲解

例1计算行列式.

分析：运用性质6，行列式可以按任一行（列）展开．本题按第一行逐步展开，计算出结果．

解：===

我们将行列式中由左上角至右下角的对角线，称为主对角线．如例1中，行列式在主对角线以上的元素全为零，则称为下三角行列式．由例1的计算过程，可得这样规律：下三角行列式就等于主对角线元素的积．同理，主对角线以下元素全为零的行列式，则称为上三角行列式，且上三角行列式也等于主对角线元素之积．此后，上、下三角行列式统称为三角行列式．

例2计算行列式

分析：原行列式中第三行的元素是第一行的2倍，因此，运用行列式的倍加运算（性质5），使第三行的元素都变为0，得到行列式的值．

解：????????=0

例3计算行列式

分析：运用行列式的倍加运算（性质5），一方面将某行（列）的元素尽也许化为0，再运用行列式可以按任一行（列）展开的性质（性质6），逐步将原行列式化为二阶行列式，计算出结果．

解：????????

?

?+?

=

à+á??????????=

à+á

通过此例可知，行列式两行成比例，则行列式为零．

三、课堂练习

练习1若，求行列式

运用行列式的性质3，将第一行的公因子3、第二行的公因子（-1）、第三行的公因子2提出．

运用行列式的性质3和性质2，将所要计算的行列式化为已知的行列式，再求其值．

练习2计算行列式

由性质4，若行列式中某列的元素均为两项之和，则可将其拆写成两个行列式之和．

在着手具体计算前，先观测一下此行列式有否特点？有，其第三列的数字较大，但又都分别接近100、200、300和400，故将第三列的元素分别写成两项之和，再运用行列式的性质4将其写成两个行列式之和