数理统计课件：充分统计量.pptx

充分统计量

统计量是对样本的简化，希望：简化程度高，同时信息损失少.一个统计量能集中样本中信息的多少，与统计量的具体形式有关，也依赖于问题的统计模型，我们希望所用的统计量能把样本中关于未知参数的信息全部“提炼”起来，即说不损失(重要)信息的统计量——充分统计量.问题：如何定义一个统计量是充分统计量？

引例：设X=(X1,X2,…,Xn)是从0-1分布中抽取的简单随机样本，且P{Xi=1}=?,P{Xi=0}=1-?,记若只对?作推断，T(X)与样本含的信息一样，即T(X)应该是充分统计量.则T(X)与样本(X1,X2,…,Xn)相差的仅仅是，X1,X2,…,Xn中1的具体位置.

样本(X1,X2,…,Xn)加工成统计量T(X1,X2,…,Xn)后，一般来说在信息上会有所损失，但是如果加工抓住了问题的实质，回到引例直观上：如果一个统计量满足这个要求，就称其为充分统计量.即：统计量T(X1,X2,…,Xn)保留了样本(X1,X2,…,Xn)中所含参数?的全部信息，丢掉的就是一些无关紧要的东西.

样本X1,X2,…,Xn的分布，记?如何定义充分统计量？统计量T(X)的分布

关于样本X=(X1,X2,…,Xn)的信息可以设想成如下公式{样本X中的信息}={T(X)中所含样本的信息}+{除了T(X)中的信息外，样本X含有的信息}因此T(X)为充分统计量的要求归结为要求后一项信息为0用统计语言描述为，即要求与?无关，其中A为任一事件.

2.5.1充分统计量的定义和例子定义2.5.1设样本X1,X2,…,Xn的分布族为设T=T(X1,X2,…,Xn)为一统计量，若在给定T的条件下，样本X1,X2,…,Xn的条件分布与参数?无关，则称统计量T(X1,X2,…,Xn)为参数?的充分统计量.

说明：1.充分统计量必存在.2.条件分布的作用是抽取信息.实际应用时，条件分布用条件概率(离散情形)和条件密度函数(连续情形)代替.样本本身是充分统计量，顺序统计量是充分统计量.3.充分统计量可以是向量，即不一定与参数的维数相同.(例2.5.9)

为充分统计量.记T=T(X1,X2,…,Xn)，按照定义只要证明下列条件概率与参数?无关.证明：例2.5.1设X1,X2,…,Xn是来自两点分布总体B(1,?)的样本，证明两点分布的分布列为

当T=t时，有

因此，有上述条件概率与参数?无关.因此是充分统计量.

为充分统计量.记T=T(X1,X2,…,Xn)，按照定义只要证明下列条件概率与参数?无关.证明：例2.5.2设X1,X2,…,Xn是来自几何分布总体G(?)的样本，证明几何分布的分布列为

由几何分布的性质知，T的分布列为当T=t时，有

因此，有上述条件概率与参数?无关.因此是充分统计量.

因此，T(X1,X2,…,Xn)=X1不是充分统计量.证明：与μ有关.例2.5.3设X1,X2,…,Xn是来自正态总体N(μ，1)的样本，则不是充分统计量.记T=T(X1,X2,…,Xn)，在T=x1条件下，X1,X2,…,Xn的条件密度函数为

证明：例2.5.4设X1,X2,…,Xn是来自正态总体N(μ，1)的样本，证明为充分统计量.记T=T(X1,X2,…,Xn)，由正态分布的性质知，在给定在T=t条件下，X1,X2,…,Xn的条件密度函数为

上述条件密度函数与参数与μ有关，因此为充分统计量.

例2.5.4中，仅有一个未知参数μ，如果其方差也是未知的，则利用定义来求充分统计量比较困难；从上面的例子也可以看出，求充分统计量，必须先猜测一个统计量，之后再用定义证明，这很不便于利用，于是有如下的因子分解定理.

2.5.2因子分解定理因子分解定理是由R.A.Fisher在20世纪20年代提出，它的一般形式和严格数学证明是由Halmos和Savage在1949年给出.

T=T(X1,X2,…,Xn)是充分统计量的充要条件是f(x1,x2,…,xn,?),可以分解为定理2.5.1(因子分解定理)设样本X1,X2,…,Xn的联合密度函数(或联合分布列)为f(x1,x2,…,xn,?),T=T(X1,X2,…,Xn)是一个统计量，