2024-2025学年上海南汇中学高三上学期数学期中试卷及答案（2024.11）.docx

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南汇中学2024学年第一学期高三年级数学期中

2024.11

一、填空题：（本大题满分54分，其中1-6题每小题4分，7-12题每小题5分）

1．已知集合，，则________．

2．已知函数在区间上的最大值为________．

3．已知角的终边过点，则________．

4．已知奇函数的周期为2，且当时，，则的值

为________．

5．若对所有的实数都成立，则等号成立时的取值范围为________．

6．已知正数，满足，则的最大值为________．

7．在中，角，，所对的边分别为，，，满足，

则角________．

8．已知平面向量，满足，且向量，的夹角为，则在方向上的数量投影为________．

9．设、，函数在处的切线方程为，则________．

10．将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，若存在使得，则的最小值为________．

11．魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974年发明的机械益智玩具．魔方拥有竟速、盲拧、单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一、一个三阶魔方，由27个棱长为1的正方体组成，如图是把魔方中间一层转动了，则该魔方的表面积是________．

12．已知平面向量，，，，满足，，，，且对任意的实数，均有，则的最小值为________．

二、选择题（本大题满分18分，13-14每小题4分，15-16每小题5分）

13．设，，则是成立的（）条件．

A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要条件 D．既非充分又非必要

14．若是关于的实系数方程的一根，则的值为（）．

A． B．1 C．0 D．4

15．如图是函数在一个周期内的图像，该图像分别与轴、轴相交于、两点，与过点的直线相交于另外两点、，为轴上的基本单位向量，则（）．

A． B． C． D．

16．将函数，的图象绕点顺时针旋转角得到曲线，若曲线仍是一个函数的图象，则的最大值为（）．

A． B． C． D．

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）

17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

已知复数，其中．

（1）设，若是纯虚数，求实数的值；

（2）设，分别记复数、在复平面上对应的点为、，求与的夹角大小．

18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

如图，在四棱锥中，已知平面，，，，且．

（1）求四棱锥的体积；

（2）求直线与平面所成角的大小．

19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

某商场零食区改造，如图，原零食区是区域，改造时可利用部分为扇形区域，已知，米，米，区域为三角形，区域是以为半径的扇形，且．

（1）若需在区域外轮廓地面贴广告带，求广告带的总长度；

（2）在区域中，设置矩形区域作为促销展示区，若设，求当取何值时，促销展示区的面积取到最大值，并求出的最大值．

20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

对于函数，，，如果存在实数，，使得，那么称为，的线性生成函数，称为生成系数对．

（1）已知，，，试判断是否为，的线性生成函数，若是，求出生成系数对，若不是，说明理由；

（2）已知，的线性生成函数为，生成系数对为．试讨论的奇偶性，并说明理由；

（3）已知，的线性生成函数为，生成系数对为．若对于任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围．

21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

若定义在上的函数和分别存在导函数和．且对任意实数，都存在常数，使成立，则称函数是函数的“控制函数”，称为控制系数．

（1）求证：函数是函数的“控制函数”；

（2）若函数是函数的“控制函数”，求控制系数的取值范围；

（3）若，函数为偶函数，函数是函数的“控制函数”，求证：“”的充要条件是“存在常数，使得恒成立”．

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参考答案

一、填空题

1.；2.；3.；4.；5.；6.；7.；8.；9.；10.；11.；12.；

11.魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974年发明的机械益智玩具．魔方拥有竟速、盲拧、单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一、一个三阶魔