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指数族
统计理论问题中，许多统计推断方法的优良性，对一类范围广泛的统计模型(也称为分布族)有比较满意的结果，这类分布族称为指数型分布族.常见的分布，如二项分布、Poisson分布、几何分布、指数分布、正态分布和伽玛(Gamma)分布都可以统一在指数型分布族中.
2.4.1指数族的定义与例子定义2.4.1设是定义在样本空间χ上的分布族,其中Θ为参数空间.若f(x,θ)可以表示为如下形式则称此分布族为指数型分布族(简称指数族).其中f(x,?)在离散情形表示分布列，连续情形表示密度函数，k为自然数，C(?)0和Qi(?)(i=1,2,…,k)都是定义在参数空间Θ上的函数.h(x)0，和Ti(x)(i=1,2,…,k)都是定义在样本空间χ上的函数.一指数族的定义
的表示不唯一.1支撑集与?无关，即23或说明
例2.4.1二项分布族{B(n,?):0?1}是指数族.样本空间为χ={0,1,2,…,n}.参数空间为Θ={?:0?1}.设X~B(n,?)，其分布列为证明:二指数族的例子
其中满足指数族的定义，因此二项分布族是指数族.
证明:例2.4.2泊松分布族{P(?):?0}是指数族.设X~P(?)，其分布列为样本空间为χ={0,1,2,…,}.参数空间为Θ={?:?0}.
其中满足指数族的定义，因此泊松分布族是指数族.
样本X1,X2,…,Xn的联合密度函数为记?=(μ,σ2)，则参数空间为证明：例2.4.3设X1,X2,…,Xn是来自正态总体N(μ,σ2)的样本，则样本分布族是指数族.
其中满足指数族的定义，因此上述样本分布族是指数族.
特别地，取样本容量n=1，X1的密度函数为满足指数族的定义，因此正态分布族是指数族.其中
X1的密度函数为证明：例2.4.4设X1,X2,…,Xn是从伽玛分布Ga(α,?)，α0,?0中抽取的样本,则样本分布族是指数族.
则样本X1,X2,…,Xn的联合密度函数为记?=(α,?)，则参数空间为
其中满足指数族的定义，因此上述样本分布族是指数族.
与未知参数?有关，因此均匀分布族族{U(0，?):?0}不是指数族.均匀分布族的支撑集为证明：例2.4.5均匀分布族{U(0，?):?0}不是指数族.
其中-∞?∞和μ0是为未知参数，它的支撑集为证明：双参数指数分布的密度函数为与未知参数μ有关，若μ已知，如μ=0，因此双参数指数分布不是指数族.例2.4.6双参数分布族{Exp(?，μ):?0，-∞μ∞}不是指数族.则单参数指数分布族{Exp(?):?0}是指数族.
2.6.2指数族的自然形式及自然参数空间则称它为指数族的自然形式(标准形式).此时集合称为自然参数空间.定义2.4.2:如果指数族有下列形式一指数族自然形式的定义
例2.4.7把二项分布族表示成指数族的自然形式(标准形式)，并求出自然参数空间.解：二项分布的指数族形式为令参数空间为可知解出二指数族自然形式的例子
其中因此二项分布族的自然形式(标准形式)为自然参数空间为
解:例2.4.8把泊松布族表示成指数族的自然形式，并求出自然参数空间.泊松分布的指数族形式参数空间为Θ={?:?0}.令可知解出
其中因此泊松分布族的自然形式(标准形式)为自然参数空间为
正态分布的指数族形式为记?=(μ,σ2)，则参数空间为解：例2.4.9设X1,X2,…,Xn是来自正态总体N(μ,σ2)的样本，将样本分布族表示为指数族的自然形式(标准形式)，并求出自然参数空间.令解出
其中因此样本分布族的自然形式(标准形式)为自然参数空间为
在指数族的自然形式下，自然参数空间为凸集.证明：指数族的自然形式为自然参数空间为定理2.4.1：
设任取则即此处用了Holder不等式.则
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