解答题：概率与统计（10大题型）（原卷版）.docx

解答题：概率与统计

题型一：离散型随机变量及其分布列

（23-24高三下·广东佛山·一模）密室逃脱是当下非常流行的解压放松游戏，现有含甲在内的7名成员参加密室逃脱游戏，其中3名资深玩家，4名新手玩家，甲为新手玩家.

(1)在某个游戏环节中，需随机选择两名玩家进行对抗，若是同级的玩家对抗，双方获胜的概率均为；若是资深玩家与新手玩家对抗，新手玩家获胜的概率为，求在该游戏环节中，获胜者为甲的概率；

(2)甲作为上一轮的获胜者参加新一轮游戏：如图，有两间相连的密室，设两间密室的编号分别为①和②.密室①有2个门，密室②有3个门（每个门都可以双向开），甲在每个密室随机选择1个门出去，若走出密室则挑战成功.若甲的初始位置为密室①，设其挑战成功所出的密室号为，求的分布列.

求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：

（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；

（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；

（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算。）

1．（24-25高三上·贵州·月考习）已知甲?乙两人参加某档知识竞赛节目，规则如下：甲?乙两人以抢答的方式答题，抢到并回答正确得1分，答错则对方得1分，甲?乙两人初始分均为0分，答题过程中当一人比另一人的得分多2分时，答题结束，且分高者获胜，若甲?乙两人总共答完5题时仍未分出胜负，则答题直接结束，且分高者获胜.已知甲?乙两人每次抢到题的概率都为，甲?乙两人答对每道题的概率分别为，每道题两人答对与否相互独立，且每题都有人抢答.

(1)求第一题结束时甲获得1分的概率；

(2)记表示知识竞赛结束时，甲?乙两人总共答题的数量，求的分布列与期望.

2．（24-25高三上·北京·月考习）某校举办知识竞赛，已知学生甲是否做对每个题目相互独立，做对三道题目的概率以及做对时获得相应的奖金如表所示.

题目

A

做对的概率

获得的奖金/元

20

40

80

规则如下：按照的顺序做题，只有做对当前题目才有资格做下一题.

[注：甲最终获得的奖金为答对的题目相对应的奖金总和.]

(1)求甲没有获得奖金的概率；

(2)求甲最终获得的奖金的分布列及期望；

(3)如果改变做题的顺序，最终获得的奖金期望是否相同？如果不同，你认为哪个顺序最终获得的奖金期望最大？（不需要具体计算过程，只需给出判断）

题型二：超几何分布与二项分布

（24-25高三上·北京·期中）某种产品按照产品质量标准分为一等品?二等品?三等品?四等品四个等级，某采购商从采购的该种产品中随机抽取100件，根据产品的等级分类得到如下数据：

等级

一等品

二等品

三等品

四等品

数量

40

30

10

20

(1)根据产品等级，按分层抽样的方法从这100件产品中抽取10件，再从这10件产品中随机抽取3件，记这3件产品中一等品的数量为，求的分布列及数学期望；

(2)若将频率视为概率，从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，求恰好有1件四等品的概率；

(3)生产商提供该产品的两种销售方案供采购商选择，

方案一：产品不分类，售价均为21元/件.

方案二：分类卖出，分类后的产品售价如下：

等级

一等品

二等品

三等品

四等品

售价/（元/件）

24

22

18

16

从采购商的角度考虑，你觉得应该选择哪种销售方案？请说明理由.

1、独立重复试验与二项分布

（1）定型：“独立”“重复”是二项分布的基本特征，“每次试验事件发生的概率都相等”是二项分布的本质特

征．判断随机变量是否服从二项分布，要看在一次试验中是否只有两种试验结果，且两种试验结果发生的概率分别为p,1－p，还要看是否为n次独立重复试验，随机变量是否为某事件在这n次独立重复试验中发生的次数．

（2）定参，确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率．

（3）列表，根据离散型随机变量的取值及其对应的概率，列出分布列．

（4）求值，根据离散型随机变量的期望和方差公式，代入相应数据求值．

相关公式：已知X～B(n，p)，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．

2、超几何分布的适用范围及本质

（1）适用范围：考察对象分两类；已知各类对象的个数；从中抽取若干个个题，考察某一类个题个数的概率分布；

（2）本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的。

3、超几何分布与二项分布的区别

（1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；

（2）超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的，而二项分布是“有放回”的抽取（独立重复），在每次试验中某一事件