解答题：圆锥曲线的综合应用（10大题型）（解析版）.docx

解答题：圆锥曲线的综合应用

题型一：最值问题

（24-25高三上·福建福州·月考）已知椭圆经过点，右焦点为

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线与交于两点，且直线与的斜率互为相反数，求的中点与的最小距离．

【答案】(1)；(2)

【解析】（1）由已知可得，解得；

所以椭圆的方程为.

（2）由于直线与的斜率互为相反数，

不妨设直线的斜率为，则直线的斜率为，；

则直线的方程为，如下图所示：

联立，整理可得，

可得，又，可得，

即，

同理用代替可得；

因此可得的中点，因此可得，

所以可得点在直线上，

可得点与的最小距离即为点到直线的距离，

当且仅当时，取得最小值.

求最值及问题常用的两种方法：

（1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决；

（2）代数法：题中所给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值，求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等。

1．（24-25高三上·贵州黔东南·开学考试）已知双曲线：的一个焦点与抛物线：

的焦点重合，且被的准线截得的弦长为.

(1)求的方程；

(2)若过的直线与的上支交于，两点，设为坐标原点，求的取值范围.

【答案】(1)；(2)

【解析】（1）由题可知，的坐标为，则.

易知的方程为，不妨设与相交于点，，

则，整理得，

则，可得

故的方程为.

（2）由题可知，直线的斜率一定存在，

设：，，，则，.

联立方程组整理得，

则，

,.

由，在轴的上方，所以，，

可得.

，

则.

由，得，

则，

故的取值范围为.

2．（24-25高三上·四川成都·期中）已知抛物线：经过点，直线：与的交点为A，B，且直线与倾斜角互补.

(1)求抛物线在点处的切线方程；

(2)求的值；

(3)若，求面积的最大值.

【答案】(1)；(2)；(3)

【解析】（1）由题意可知，，所以，所以抛物线的方程为，

即，则，

则抛物线在P点的切线斜率为，

则切线方程为，

故切线方程为.

（2）如图所示：

设，，将直线的方程代入，

得，所以，，

因为直线与倾斜角互补，

所以，

即，

所以，

即，所以.

（3）由（1）（2）可知，，所以，，

则，

因为，所以，即，

又点到直线的距离为，

所以，

因为，

所以，当且仅当，即时，等号成立，

所以面积最大值为.

题型二：参数范围问题

（23-24高三下·全国·模拟预测）已知椭圆.

(1)若椭圆的左右焦点分别为为的上顶点，求的周长；

(2)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.

【答案】(1)；(2)

【解析】（1）由题意得，

所以，

所以的周长为；

（2）显然不满足题意，设直线的方程为，

由，得，

由，得，

则，

，

因为为锐角，不共线，所以，

所以，所以，

所以，

解得，

因为，所以解得或，

所以实数的取值范围为

圆锥曲线的取范围问题

1、利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

2、利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；

3、利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

4、利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；

5、利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．

1．（23-24高三下·江苏苏州·月考）在平面直角坐标系中，已知动点到定点的距离和它到定直线的距离之比为，记的轨迹为曲线.

(1)求的方程；

(2)已知点，不过的直线与交于，两点，直线，，的斜率依次成等比数列，求到距离的取值范围.

【答案】(1)；(2).

【解析】（1）设，由题意得，

化简得，所以：.

（2）由题意，直线的斜率存在且不为0，

设直线的方程为（），，.

联立，得，

所以，

因为，即，所以，

所以，又，所以，

所以，所以.

所以点到直线的距离，

令，则，

代入，即，解得.

所以，.

当时，恒成立，

所以在区间单调递增，

所以，即点到直线的距离的取值范围为.

2．（24-25高三上·湖南·开学考试）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且.

(1)求抛物线的标准方程；

(2)抛物线的准线与轴交于点，过的直线交抛物线于两点，且，点为线段的垂直平分线与轴的交点，求点的横坐标的取值范围.

【答案】(1)；(2).

【解析】（1）因为在拋物线上，所以，

得；

因为，所以，即，解得，

所以抛物线的标准方程为.

（2）易知抛物线的准线为，则可得；

设，由可得，

如下图所示：

设直线，代入到中得，

所以，即可得，

联立两式并整理可得，

又

由可得递增，即有，即，

又中点坐标为，

可得直线的垂直平分线的方程为，

令，可得，

所以点的横坐标的取值范围为.

题型三：定值问题

（24