专题06 期末解答压轴题（九大题型）（解析版）.docx

专题06期末解答压轴题（九大题型）

直接由新定义求参数范围

1．（23-24高一上·上海青浦·期末）已知函数的定义域是使得解析式有意义的x集合，如果对于定义域内的任意实数x，函数值均为正，则称此函数为“正函数”.

（1）证明函数是“正函数”；

（2）如果函数不是“正函数”，求正数a的取值范围.

（3）如果函数是“正函数”，求正数a的取值范围.

【答案】（1）证明见解析，（2）（3）

【解析】（1）有题知：，即证.

（2）首先讨论当时，显然不是“正函数”.当时，从反面入手，假设是“正函数”，求出的范围，再取其补集即可.

（3）根据题意得到：或，解方程和不等式组即可.

【解析】（1）.

函数值恒为正数，故函数是“正函数”.

（2）当时，，

显然不是“正函数”.

当时

假设为“正函数”.则恒大于零.

.

所以，即

所以不是“正函数”时，

.

综上：.

（3）有题知：若函数是“正函数”，

则或.

解得：或.

【点睛】本题主要考查函数的新定义，同时考查了对所学知识的综合应用，属于难题.

抽象函数、抽象函数与新定义题

2．（23-24高一上·上海徐汇·期末）若函数满足对任意，都有，则称该函数为C函数.

(1)若，求证：函数是C函数；

(2)若函数是上的严格减函数，判断是否一定为C函数，并说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)为C函数，证明见解析

【分析】（1）利用对数式的运算，证明即可；

（2）由单调性可得，整理变形后有，可得.

【解析】（1）证明：

，，

则有

，

，

所以函数是C函数.

（2）一定为C函数,证明如下：

函数是上的严格减函数，任取，有，

则，即，

变形为，

两式相加得，

由，则，所以为C函数.

【点睛】方法点睛：

函数新定义问题，要紧紧围绕所给定义，由定义中的规则和运算性质对各种结论进行判断.

3．（23-24高一上·上海·期末）若对任意的在区间上不存在最小值，且对任意正整数n，当时有，

(1)比较与的大小关系；

(2)判断是否为上的增函数，并说明理由；

(3)证明：当时，．

【答案】(1)

(2)函数在上不为增函数，理由见解析

(3)证明见解析

【分析】（1）根据题意，可得分，，两种情况讨论，得出矛盾，从而得到，进而得到；

（2）令函数，其中，结合单调性的定义，即可得到结论；

（3）由（1）知，恒成立，结合时，得到，再分和，分别证得和，进而证得结论.

【解析】（1）解：当时，

都有，

若，

可得，

则，

此时，当时，存在最小值，这与题设矛盾，（舍去）；

若，

可得，

则，

此时，当时，存在最小值，这与题设矛盾，（舍去）；

所以，当时，有，

此时函数在区间上有最小值和最大值，

因为时，函数无最小值，

所以，当，有，即，

若，则，可得，

此时函数时，函数存在最小值，矛盾，

综上可得，.

（2）解：函数在上不为增函数，

例如：函数，其中，

显然函数满足题设，例如，如图所示，

所以，任取，且时，不恒满足，

故在不为增函数.

（3）证明：由（1）知，当时，恒成立，

又由

所以，当时，可得，即，

所以当时，则存在正整数使得，

则，

所以当时，，同理可证：当时，，

所以，当时，必然存在正整数，使得，所以，

当时，，显然成立；

综上可得：当时，.

【点睛】方法点睛：对于函数的新定义试题的求解：

1、根据函数的新定义，可通过举出反例，说明不正确，同时正确理解新定义与高中知识的联系和转化；

2、正确理解函数的定义的内涵，紧紧结合定义，结合函数的基本性质（如单调性、奇偶性和周期等性质）进行推理、论证求解.

4．（23-24高一上·上海·期末）若函数满足：对任意正数，都有，则称函数为“H函数”．

(1)试判断函数与是否为“H函数”，并说明理由；

(2)若函数是“H函数”，求实数a的取值范围；

(3)若函数为“H函数”，，对任意正数s、t，都有，，证明：对任意，都有．

【答案】(1)是“H函数”，不是“H函数”，理由见解析

(2)

(3)证明见解析

【分析】（1）根据“H函数”的定义并结合举反例的方法进行判断即可；

（2）根据函数是“H函数”列出不等式，转化为求最值问题即可；

（3）由题意令，得到，进而得到和即可得证.

【解析】（1）对于任意，，，

所以，

即成立，

故是“H函数”；

对于，

取，则，．

因为，故不是“H函数”

（2）因为函数是“H函数”，

所以对于任意的，有恒成立，

即恒成立，

所以恒成立，

又，故，则，

则，即，即实数a的取值范围为

（3）由函数为“H函数”，可知对于任意正数，

都有，，且，

令，可知，即，

故对于自然数k与正数s，

都有，

对任意，可得，又，

所以，

同理，

故

【点睛】方法点睛：针对一般的函数新定义问题的方法和技巧：

（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对