专题拓展：点与直线的对称问题（技巧解密+5考点+过关检测）（解析版）.docx

专题拓展：点与直线的对称问题

一、点关于点对称

1、实质：该点是两对称点连线段的中点．

2、方法：利用中点坐标公式

平面内点关于对称点坐标为，

平面内点，关于点对称．

二、直线关于点对称

1、实质：两直线平行

2、法一：转化为“点关于点”的对称问题（在l上找两个特殊点（通常取直线与坐标轴的交点），求出各自关于A对称的点，然后求出直线方程）．

法二：利用平行性质解（求一个对称点，且斜率相等或设平行直线系，利用点到直线距离相等）．

三、点关于直线对称

1、实质：轴（直线）是对称点连线段的中垂线．

2、（1）当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点关于直线的对称点，

则

（2）当直线斜率不存在时：点关于的对称点为．

四、直线关于直线对称

1、当与l相交时：此问题可转化为“点关于直线”的对称问题；

求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线

第一步：联立算出交点；

第二步：在上任找一点（非交点），求出关于直线对称的点；

第三步：利用两点式写出方程．

2、当与l平行时：对称直线与已知直线平行．

两条对称直线到已知直线的距离相等，利用平行线间距离公式建立方程即可解得．

考点一：点关于点的对称问题

例1．（23-24高二上·辽宁葫芦岛·月考）点A(2，－3)关于点B(－1,0)的对称点A′的坐标是(????)

A．(5，－6) B．(－4,3) C．(3，－3) D．

【答案】B

【解析】设点

则解得故选B

【变式1-1】（23-24高二上·江苏宿迁·开学考试）已知点与关于坐标原点对称，则等于（????）

A．5 B．1 C． D．

【答案】B

【解析】由与关于坐标原点对称，则，

所以.故选：B

【变式1-2】（23-24高二上·全国·单元测试）已知不同的两点关于点对称，则ab＝.

【答案】

【解析】由题意知，即，解得，故.

故答案为：

【变式1-3】（23-24高二上·全国·课后作业）点关于点对称，则．

【答案】

【解析】由已知得，解得，即，

故答案为：

考点二：直线关于点的对称问题

例2.（22-23高二上·河南南阳·月考）直线关于点对称的直线方程为（????）

A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0

C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0

【答案】B

【解析】设直线关于点对称的直线上任意一点，

则关于对称点为，

又因为在上，

所以，即。故选：B

【变式2-1】（23-24高二上·全国·期末）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（????）

A． B． C． D．（1，0）

【答案】C

【解析】由题设关于对称的点为，若该点必在上，

∴，解得，即一定在直线上.故选：C.

【变式2-2】（23-24高二上·浙江嘉兴·月考）不论实数取何值时，直线都过定点，则直线关于点的对称直线方程为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由可得：，

令，解得：，

所以，设直线关于点的对称直线方程为：，

则到直线与的距离相等，

所以，解得：，即（舍去）或.

故直线关于点的对称直线方程为：.故选：D.

【变式2-3】（23-24高二上·江苏常州·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（????）

A．2 B．6 C． D．

【答案】A

【解析】由于直线与直线关于点对称，

所以两直线平行，故，则，

由于点在直线上，关于点的对称点为，

故在上，代入可得，故，故选：A

考点三：点关于直线的对称问题

例3.（23-24高二上·江苏苏州·期中）点关于直线的对称点的坐标为．

【答案】

【解析】设对称点的坐标为，

则，解得，

所以对称点的坐标为.

故答案为：

【变式3-1】（23-24高二上·山东菏泽·月考）已知直线与直线交于点A，则点A关于直线的对称点坐标是.

【答案】

【解析】因为直线与直线交于点A，

所以联立，解得，即.

设点关于直线的对称点坐标为，

则的中点坐标为，，

故，解得，即点A关于直线的对称点坐标是.

故答案为：.

【变式3-2】（23-24高二上·河南濮阳·月考）若点和点关于直线对称，则．

【答案】

【解析】点和点的中点坐标为，

由题意得，解得.

故答案为：

【变式3-3】（23-24高二上·四川内江·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为点关于直线对称的点为，所以直线为线段的中垂线，

因为，中点为，且，

所以直线的斜率为，

所以直线的方程为即.故选：D

考点四：直线关于直线的对称问题

例4.（23-24高二上·安徽宣城·月考）直线关于直线对称的直线方程是（????）

A． B．