新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第四十一中学2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题.docx

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乌鲁木齐市第41中学2024-2025学年高二上学期期末考试

数学试题

总分150分考试时间120分钟

一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知空间三点、、，则以、为邻边的平行四边形的面积为（）

A. B.7 C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】由点、、，求得及，再利用三角形面积公式求解.

【详解】因为点,,，

所以，

，

，则，

所以，

所以以,为邻边的平行四边形的面积为，

故选：D

2.已知正方体中，，分别为上底面和下底面的中心，则下列与和共面的向量是（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法求得和共面的平面的法向量，再逐项计算对应向量与法向量的数量积即可判断得解．

【详解】根据题意，建立空间直角坐标系，如图，

不妨设正方体的棱长为2，

则,0,，,0,，,0,，,2,，

,2,，,2,，,1,，,1,，

所以，，

设和共面的平面的法向量为,,，

则有，令，则,1,，

对于A，，则，

所以与和共面，故A正确；

对于B，，则，

所以不与和共面，故B错误；

对于C，，则，

所以不与和共面，故C错误；

对于D，，则，

所以不与和共面，故D错误．

故选：A．

3.已知，，，则在方向上的投影向量的坐标为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据坐标写出对应向量坐标，再应用投影向量的定义求在方向上的投影向量即可.

【详解】由题设，，，

在方向上的投影向量为.

故选：D

4.已知直线与圆相切，则的最大值为（）

A.1 B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据圆心到直线的距离等于半径的的关系，消元后利用基本不等式求解可得.

【详解】圆的圆心为O0,0，半径为，

由题知，，整理得，

则，

当且仅当时等号成立，

所以，所以的最大值为13.

故选：C

5.由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为()

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】由勾股定理可知当直线的点到圆的圆心距离最小时，此时切线长最小，然后计算即可.

【详解】由题可知圆的圆心，半径，

设直线的动点为，切点为

则切线长

所以要使切线长最小，则最小；

显然的最小值为到直线的距离为

所以此时切线长.

故选：A

6.已知圆与圆恰有三条公切线，则（）

A.15 B.23 C.21 D.17

【答案】B

【解析】

【分析】将圆的方程化为标准方程形式，确定圆，圆的圆心和半径，根据条件可得两圆外切，结合圆的位置关系列方程求.

【详解】的标准形式为.

所以，圆的圆心为3,4，半径为，

圆的圆心为1,2，半径为2，

因为两圆有三条公切线，所以两圆外切，

所以，解得

故选：B.

7.已知焦点在y轴上的椭圆的焦距为2，则其离心率为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意求出，再根据椭圆的离心率公式即可得解.

【详解】因为焦点在轴上的椭圆的焦距为2，

所以，解得，

所以椭圆的离心率.

故选：B.

8.已知抛物线的焦点为为上一点，，当的周长最小时，的面积为（）

A. B.1 C. D.2

【答案】A

【解析】

【分析】点到准线距离，的周长最小，则最小，必须使得三点共线，求出此时点坐标，可求的面积.

【详解】如图，F1,0

作垂直于的准线，垂足为，由抛物线的定义知，

所以的周长为，要使周长最小，

则必须使得三点共线，即点在过垂直于的直线上（图中点处），

将代入中，求得点，所以，

在边上的高为1，

故其面积为.

故选：A.

二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得零分.

9.如图，在棱长为1的正四面体中，为底面的重心，，分别为线段，上的点（不含端点），，分别为，延长线上的点，，，，交于，交于，则（）

A.若，则平面

B.

C.若且平面过点，则的最小值为4

D.若为正四面体的外接球球心且，平面过点，则点到平面的距离为

【答案】ACD

【解析】

【分析】运用线面平行性质和判定判定A；运用重心性质，结合向量线性运算法则判定B；根据点共面得向量定理，结合基本不等式计算判定C；画出草图，结合外接球球心性质，结合三点共线性质，将距离转化计算即可判定D.

【详解】对于选项A，因为，即，所以，从而平面，

又因为平面平面，所以，从而平面，故A正确；

对于选项B，连接并延长交于点H，连接，则，因为O是重心，所以，故B错