人教A版高中数学(必修第二册)考点通关练12 解三角形平面图形类问题6种常见考法归类（原卷版）.doc

考点12解三角形平面图形类问题6种常见考法归类

1、“算一次”问题常见的平面几何图形有两种类型：

一种是由两个三角形拼成一个大三角形，一种是由两个三角形拼成一个四边形.所谓“算一次”问题，就是只需通过一次正弦定理或余弦定理就可以把问题角或边长算出来，即直接单个三角形进行突破。

2、“算两次”问题在一些平面几何问题中，所求的角或边长放在任何一个三角形中，由于条件较少，都不可能通过一次正弦定理或余弦定理求出.那么，可找两个三角形，通过它们的公共边或角，运用两次正弦定理或余弦定理，就可以解决问题，简称“算两次”.

（一）求角

一般地，求三角形某个内角问题，可寻找其中的一条边，对其放到两个三角形，分别运用正弦定理或余弦定理，“算两次”解方程求之.

求边

一般地，求三角形某个边长问题

可寻找其中的一个角，对其放到两个三角形，分别运用余弦定理，“算两次”解方程求之.

（2）边长可表示成某个未知角的正弦或余弦值

3、解决三角形图形类问题的方法：

（1）两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；

（2）等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；

（3）正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；

（4）构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；

（5）平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；

（6）建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.

6、三角形中线模型

涉及中线长的工具：

在中，D是AC中点，

示例：的三边分别为a，b，c，边BC，CA，AB上的中线分别记为，利用余弦定理证明，，

【解析】方法一：证明：根据余弦定理得，

所以，

所以，

同理可得，.

方法二：设BC边上的中线为AD，在△ABD中，

在△ACD中，

由于①+②可得，即有，同理可证

，

方法三：值得一提的是，此结论除了可以用余弦定理证明以外，还可以用向量证明，证明如下：因为，所以，所以

在△ABC中，由余弦定理得：

所以，由③④得，同理可证

，

比较上述后两种证法，可以发现，如果已知的是三边，那么选择前一种方法好些，如果已知的是夹角，那么后一种做法相对好些.熟记这组结论，无论是对填空题还是大题，无论是对思维还是计算都大有裨益.

当然，若将BC上的中点D改为靠近C点的三等分点，证明方法完全一样.此时结论变为.

若将BC上的中点D改为靠近B点的三等分点，此时结论变为.边上的结论可以类比上式，不再赘述.

7、涉及角平分线的工具：

中，AD是的角平分线

角平分线定理：

8、平面四边形模型

一般解三角形问题如果给出的平面图形是四边形，那么这其中所包含的三角形就有很多.思考过程大致可以概况如下流程：设角→在某个三角形中由正弦定理用角表示边→在另一个三角形中用正弦定理或余弦定理找到等量关系→得出结论.

当然，如果题目众多三角形中有特殊三角形，比如直角三角形或等腰三角形，我们优先选择从这些三角形中设角.很多时候，学生没办法从一个三角形中找到等量关系，则尽可能多求图中的角.从而可以在两个三角形中找共同的边或角、从而得到一些等量关系、来解决问题.

考点一算一次问题

考点二算两次问题

考点三三角形中线模型

考点四角平分线模型

考点五平面四边形模型

（一）直角三角形模型

（二）外接圆模型

考点一算一次问题

1、如图，已知中，，，．

（1）求的长；

（2）若，求的长．

2、如图，在中，D为边BC上一点，，，，.

(1)求的大小；

(2)求的面积.

3、如图，在中，点在边上，

(1)证明：；

(2)若，，求.

4、如图，平面四边形是由钝角与锐角拼接而成，且，．

（Ⅰ）求的大小；

（Ⅱ）若，，求的面积．

5、如图，在平面四边形中，，，，．

（1）求的值；

（2）求的值．

6、如图，中，已知点D在BC边上，，，，，则△的面积为________；AB的长是________.

7、某农户有一个三角形地块，如图所示.该农户想要围出一块三角形区域（点在上）用来养一些家禽，经专业测量得到.

(1)若，求的长；

(2)若，求的周长.

考点二算两次问题

（一）求角

8、如图，在中，，，，为内一点，．

（1）若，求；

（2）若，求．

9、如图，在中，，，，在平面内，且为外一点，

（1）若，求；

（2）若，求．

10、如图,在平面四边形中,,.

(1)试用表示的长;

(2)求的最大值.

11、如图，在梯形中，，，，．

（1）若，求梯形的面积；

（2）若，求．

（二）求边

12、如图，在直角中，，，是的中点，若，则____