北京外国语大学 微积分卷01-03题目及答案.doc

BWME200901

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“微积分”课程终结考试

模拟题

课程编号：BWME2009学籍号：____________________

学习中心：_________________姓名：____________________

注意事项：1、本试卷满分100分，考试时间120分钟；

2、本试卷为闭卷考试，请将答案一律写在答题纸上。

一、单项选择题（每小题4分，共20分）

1．函数有界且单调增加的区间是（）．

A．B．C．D．

2．当时，是关于的（）．

A．高阶无穷小量 B．低阶无穷小量

C．同阶但不等价无穷小量 D．等价无穷小量

3．在上满足罗尔定理的函数是（）．

A． B．

C． D．

4．下列等式中正确的是（）．

A． B．

C． D．

5．由曲线与直线，轴所围平面图形绕轴旋转一周生成的旋转体体积等于（）．

A． B．

C． D．

二、填空题（每小题4分，共28分）

1．若，则_____．

2．设函数在点连续，则_____．

3．曲线的拐点坐标是_____________．

4．设，则____________________________．

5．_____．

6．更换积分次序，____________________________．

7．微分方程满足初始条件的特解是__________________________．

三、解答题（共52分）

1．（本题5分）求极限

2．（本题7分）求曲线在点的切线方程．

3．（本题7分）设函数由方程确定，求．

4．（本题7分）求微分方程的通解．

5．（本题8分）求函数在上的最大值和最小值．

6．（本题9分）计算

7．（本题9分）计算，其中．

“微积分”课程终结考试

模拟题

答案

一、单项选择题（每小题4分，共20分）

1．选B.

分析：A不正确，因为当时，有界非单调．

C不正确，因为当时，有界但单调减少．

D不正确．因为当时，单调增加但无界．

2．选D.

分析：根据无穷小量阶的比较的概念，只需计算比的极限．

3．选A.

分析：B中函数是初等函数，在[-1,1]有定义，从而连续，但在不存在，故不满足定理的第二个条件．

C中函数在与处无定义，故它在不连续，不满足定理的第一个条件．

D中函数在点间断，故不满足定理的第一个条件．

A中函数是初等函数，定义域为，故在上连续，在存在，在可导，而且在与的值相等，因此在上满足罗尔定理．

4．选D.

分析：由不定积分的性质可知：，故A不正确，同理应有 ，，故B和C都不正确。

选C.

分析：根据旋转体体积的计算公式，曲边梯形绕轴旋转一周的旋转体体积，本题中所给D不是以为底的曲边梯形，而是曲边梯形中除去曲边梯形的部分，故所求为两旋转体体积之差，因此应该为平方之差，而不是差的平方，所以A，B不对，由题意知，当有，所以应为与之差，即选C正确．

二、填空题（每小题4分，共28分）

1．填

分析：，由，得：

2．填

分析：要使函数在处连续，必须满足，即。

3．填

分析：根据判定拐点的必要条件和充分条件，应求出二阶导数．

令，由，得

又当时，；时，，所以曲线上横坐标为的点为拐点，将代入曲线方程中，得，故拐点坐标为．

4．填

分析：根据高阶偏导法则，先计算

则

5．填

分析：根据奇函数在对称区间上的定积分为零，

有。

6．填

分析：

由已知二次积分知：，，从而的积分区域如上图中阴影所示，更换积分次序时，将D表为：，，所以

7．填

分析：所给方程为变量可分离方程，分离变量，有

两边积分：

由初始条件，知，将代回，得，即

三、解答题（共52分）

1．（本题5分）解：

2．（本题7分）解：方程两边同时对求导，可得

化简可得

故曲线在点的切线方程为

即.

3．（本题7分）解：设

，

；

;

所以.

4．（本题7分）解：由题意知，，则

所以原方程通解为：

5．（本题8分）解：求函数的一阶导数，得

因此在内有不可导点和唯一的驻点，

比较下列值：

故在上的最大值为最小值为.

6．（本题9分）解：令则且从时，从.

7．（本题9分）

解：积分区域的图形为上图阴影所示圆环域，在极坐标下

=

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