精品解析：广东省广州华南师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题（原卷版）.docxVIP

2024-2025广州华附高二上学期期中考试

数学

一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一

个是符合要求的．

1.已知集合，则（）

A.B.C.D.

2.函数是定义在上的奇函数，当时，，则（）

A.B.2C.D.

3.直线的倾斜角为（）

A30°B.45°C.60°D.90°

4.已知直线平分圆：周长，则（）

A.B.C.D.

5.双曲线的一条渐近线为，则C的离心率为（）

A.B.C.2D.4

6.若是第二象限角，且，则（）

A.B.C.D.

7.如图，在正三棱柱中，M为棱的中点，N为棱上靠近点C的一个三等分点，若

记正三棱柱的体积为V，则四棱锥的体积为（）

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AB.

C.D.

8.已知F是椭圆的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若

，且，则椭圆E的离心率为（）

A.B.C.D.

二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9.已知向量，，则（）

A.若，则B.若，共线，则

C.不可能是单位向量D.若，则

10.已知为正实数，，则（）

A.的最大值为B.的最小值为

C.的最小值3D.的最小值为16

11.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积

.如下图，已知椭圆的左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，左、

右顶点分别为，，，设的离心率为，则（）

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A.若，则

B.四边形面积与的面积之比为

C.四边形的内切圆方程为

D.设椭圆外阴影部分的面积为，椭圆内阴影部分的面积为，则

三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分．

12.直线恒过的定点坐标为______________.

13.已知函数在R上单调递增，则实数的取值范围为______________.

14.已知椭圆的一个焦点为，短轴的长为为上异于的两点.设

，且，则的周长的最大值为

__________.

四、解答题:本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15.记的内角，，所对的边分别为，，，且.

（1）求；

（2）若为边上一点，，，，求.

16.已知圆与轴相切于点（0，3），圆心在经过点（2，1）与点（﹣2，﹣3）的直线上．

（1）求圆的方程；

（2）圆与圆：相交于M、N两点，求两圆的公共弦MN的长．

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17.（本题不能使用空间向量）如图，在三棱柱中，底面中角为直角，

，侧面底面，，直线与平面所成角为.

（1）证明：平面平面；

（2）求二面角的正弦值.

18.已知椭圆的焦点为，，左、右顶点分别为，点为椭圆上异于的动

点，的周长为.

（1）求椭圆标准方程；

（2）设直线交直线于点，连接交椭圆于点，直线，的斜率分别为，.

（i）求证：为定值；

（ii）设直线，证明：直线过定点.

19.若坐标平面内的曲线与某正方形四条边的所在直线均相切，则称曲线为正方形的一条“切曲

线”，正方形为曲线的一个“切立方”.

（1）试写出圆的一个切立方的四条边所在直线的方程；

（2）已知正方形的方程为，且正方形为双曲线的一个“切立方”，

求双曲线的离心率的取值范围；

（3）已知为函数的图像上任一点，则函数在点处的切线方程为

.若奇函数的定义域为，且在时，设函数的

图像为曲线，试问曲线是否存在切立方，并说明理由.

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