精品解析：广东省广州市华南师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期综合测试（二）数学试题（A卷）（解析版）.docxVIP

2024—2025学年度第一学期高二年级综合测试（二）

数学（A卷）

第一部分选择题（共58分）

一?选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知空间向量，则（）

A.0 B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】直接计算空间向量数量积.

【详解】由题意得：.

故选：B

2.抛物线的准线方程是（）

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】写出抛物线标准形式，即可得准线方程.

【详解】抛物线标准方程为，故准线方程为.

故选：C

3.如图，在平行六面体中，为与的交点，若，则下列向量中与相等的向量是（）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据平面六面体的结构，应用空间向量加减、数乘的几何意义用表示出即可.

【详解】.

故选：A

4.点可以向圆引两条切线，则的取值范围为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据方程表示圆和点在圆外建立不等式组，解之即可求解.

【详解】因为表示圆，

所以，解得，

又过点向圆引两条切线，所以点在圆外，

有，解得，

所以实数的取值范围为.

故选：D

5.已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数，则双曲线的渐近线方程为（）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】由椭圆方程写出其离心率，结合已知有双曲线的离心率为3，再由双曲线离心率求法求得，即可得渐近线.

【详解】由，知椭圆离心率，故双曲线的离心率为3，

所以，可得，故渐近线为.

故选：A

6.正四棱柱中，分别是的中点，则直线与所成角的余弦值为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】令分别是的中点，是中点，连接，化为求直线与所成角，即，应用余弦定理求其余弦值即可.

【详解】令分别是的中点，是中点，连接，

由正四棱柱的性质及题设，易知且，则为平行四边形，

所以，直线与所成角即为直线与所成角，即，

若，则，，，

.

故选：D

7.某飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心（记为、、），在的正东方向，相距；在的北偏西方向，相距；为航天员的着陆点.某一时刻，接收到的求救信号，由于、两地比距远，后、两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为，则在处测得的方向角为（）

A.北偏东 B.北偏东 C.北偏西 D.北偏西

【答案】A

【解析】

【分析】分析可知，在以、为焦点的双曲线的右支上，建立平面直角坐标系，求出双曲线方程，将线段的垂直平分线方程与双曲线的方程联立，求出点的坐标，可求出直线的斜率及倾斜角，即可得出结论.

【详解】因为、同时接到信号，所以，，则点在线段的垂直平分线上，

因为、比处同时晚收到信号，所以有，

从而在以、为焦点的双曲线的右支上，所以，，，则，

如图，以线段的中点为坐标原点，的垂直平分线为轴，正东方向为轴的正方向，

建立如下图所示的平面直角坐标系，

则、，，

所以，双曲线的方程为，

线段的垂直平分线的方程为，即，

联立，解得，即点，

从而，所以，直线的倾斜角为，

则在处测得的方向角为北偏东，

故选：A.

8.已知为坐标原点，抛物线上一点到其准线的距离为3，过的焦点的直线交于两点.当时，的值为（）

A. B. C. D.8

【答案】D

【解析】

【分析】根据抛物线定义，结合已知条件，求得抛物线方程；再设出直线斜率和方程，联立抛物线方程，结合三角形面积，从而求得直线方程，进而由韦达定理求得结果.

【详解】因为抛物线上一点到其准线的距离为3，

所以，解得，所以抛物线的标准方程为．

由抛物线的方程可知，焦点，根据题意可知直线的斜率存在且不为0，

设直线，，．

由消去整理得，，

所以，．又，

所以，

解得，

则，，

则．

故选：D．

【点睛】关键点点睛：处理本题的关键是能够根据三角形面积，结合韦达定理求得直线斜率，同时要注意熟练掌握抛物线焦半径公式，属综合中档题.

二?多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.以下四个命题中正确的是（）

A.若非零空间向量满足，则有

B.若是空间的一个基底，则都不是零向量

C.纵坐标为0的空间向量都共面

D.已知是空间的一个基底，则也是空间的一个基底

【答案】BCD

【解析】

【分析】将向量想象为正方体三条相邻的棱可判断A；根据基底的性质判断B；由纵坐标都为0的向量都与平面平行判断C；假设共面推得也共面判断D.

【详解】A：根据题设，以正方体三条相邻