2025版高考数学大一轮复习第十章概率第3讲几何概型分层演练文.docVIP

PAGE

PAGE1

第3讲几何概型

1．(2024·益阳市、湘潭市调研)若正方形ABCD的边长为4，E为四边上随意一点，则AE的长度大于5的概率等于()

A.eq\f(1,32) B.eq\f(7,8)

C.eq\f(3,8) D.eq\f(1,8)

解析：选D.设M，N分别为BC，CD靠近点C的四等分点，则当E在线段CM，CN(不包括M，N)上时，AE的长度大于5，因为正方形的周长为16，CM＋CN＝2，所以AE的长度大于5的概率等于eq\f(2,16)＝eq\f(1,8)，故选D.

2．在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为()

A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)

C.eq\f(2,3) D．eq\f(4,5)

解析：选C.设AC＝x(0x12)，则CB＝12－x，所以x(12－x)32，解得0x4或8x12.

所以P＝eq\f(4＋4,12)＝eq\f(2,3).

3.

在如图所示的圆形图案中有12片树叶，构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为eq\f(π,3)，若在圆内随机取一点，则此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率是()

A．2－eq\f(3\r(3),π) B.4－eq\f(6\r(3),π)

C.eq\f(1,3)－eq\f(\r(3),2π) D．eq\f(2,3)

解析：选B.设圆的半径为r，依据扇形面积公式和三角形面积公式得阴影部分的面积S＝24eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)πr2－\f(\r(3),4)r2))＝4πr2－6eq\r(3)r2，圆的面积S′＝πr2，所以此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率为eq\f(S,S′)＝4－eq\f(6\r(3),π)，故选B.

4．已知平面区域D＝{(x，y)|－1≤x≤1，－1≤y≤1}，在区域D内任取一点，则取到的点位于直线y＝kx(k∈R)下方的概率为()

A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)

C.eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)

解析：选A.由题设知，区域D是以原点为中心的正方形，直线y＝kx将其面积平分，如图，所求概率为eq\f(1,2).

5.

如图所示，A是圆上肯定点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径的概率为()

A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),2)

C.eq\f(1,3) D．eq\f(1,4)

解析：选C.当AA′的长度等于半径长度时，∠AOA′＝eq\f(π,3)，A′点在A点左右都可取得，故由几何概型的概率计算公式得P＝eq\f(\f(2π,3),2π)＝eq\f(1,3)，故选C.

6.

某人随机地在如图所示的正三角形及其外接圆区域内部投针(不包括三角形边界及圆的外界)，则针扎到阴影区域(不包括边界)的概率为________．

解析：设正三角形的边长为a，圆的半径为R，则正三角形的面积为eq\f(\r(3),4)a2.

由正弦定理得2R＝eq\f(a,sin60°)，即R＝eq\f(\r(3),3)a，

所以圆的面积S＝πR2＝eq\f(1,3)πa2.

由几何概型的概率计算公式得概率P＝eq\f(\f(\r(3),4)a2,\f(1,3)πa2)＝eq\f(3\r(3),4π).

答案：eq\f(3\r(3),4π)

7.

如图所示，OA＝1，在以O为圆心，OA为半径的半圆弧上随机取一点B，则△AOB的面积小于eq\f(1,4)的概率为________．

解析：因为OA＝1，若△AOB的面积小于eq\f(1,4)，则eq\f(1,2)×1×1×sin∠AOBeq\f(1,4)，所以sin∠AOBeq\f(1,2)，所以0∠AOBeq\f(π,6)或eq\f(5π,6)∠AOBπ，所以△AOB的面积小于eq\f(1,4)的概率为eq\f(1,3).

答案：eq\f(1,3)

8．一只昆虫在边长分别为5，12，13的三角形区域内随机爬行，则其到三角形顶点的距离小于2的概率为________．

解析：如图，

△ABC为直角三角形，且BC＝5，AC＝12.图中阴影部分是三个分别以A，B，C为圆心，2为半径的扇形，所以S阴＝eq\f(1,2)π×22＝2π.所以昆虫到三角形顶点的距离小于2的概率P＝eq\f(S阴,S△ABC)＝eq\f(2π,\f(1,2)×12×5)＝eq\f(π,15).

答案：eq\f(π,15)

9．已知正方体ABCD