湖南省长沙市雅礼中学2024-2025学年高三上学期月考（五）数学试卷.docxVIP

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湖南省长沙市雅礼中学2024-2025学年高三上学期月考（五）数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知复数满足：，（其中i为虚数单位，m为正实数），则的共轭复数在复平面内对应的点位于（????）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（???）

A． B． C． D．

3．已知，则的值为（????）

A． B． C． D．

4．已知向量，若，则（????）

A． B． C． D．

5．已知函数，若方程有4个不相同的解，则实数m的取值范围为（????）

A． B． C． D．

6．某圆锥母线长为，底面半径为2，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面的面积最大时，此截面将底面圆周所分成的两段弧长之比（较短弧与较长弧之比）为（????）

A． B． C． D．

7．已知椭圆的左?右焦点分别为为椭圆上不与顶点重合的任意一点，为的内心，记直线的斜率分别为，若，则椭圆的离心率为（????）

A． B． C． D．

8．已知，，…，为1，2，3，4，5的任意一个排列.则满足：对于任意，都有的排列，，…，有（?????）

A．49个 B．50个 C．31个 D．72个

二、多选题

9．已知函数的部分图象如图所示，则（????）

??

A．

B．

C．的图象与轴的交点坐标为

D．函数的图象关于直线对称

10．某机构抽样调查一批零件的尺寸和质量，得到样本数据，并计算得该批零件尺寸和质量的平均值分别为3和60，方差分别为4和400，且.则（????）（参考公式：相关系数.回归直线的方程是：，其中）

A．样本数据的相关系数为

B．样本数据关于的经验回归方程为

C．样本数据所得回归直线的残差平方和为0

D．若数据均满足正态分布，则估计

11．已知函数及其导函数的定义域均为R，若，且是奇函数，令，则下列说法正确的是（???）

A．函数是奇函数 B．

C． D．

三、填空题

12．若是公比不为的等比数列，为的前项和，且、、成等差数列，则数列的公比为

13．曲线（为自然对数的底数）在处的切线与圆相交于点，，则．

14．已知双曲线，为左焦点，曲线上的点到左焦点的距离最小值为，点，在上，且关于原点对称，是上一点，直线和满足，则该双曲线的渐近线方程为，过作圆的两条切线，，切点分别为、，则的最大值为．

四、解答题

15．从①点是函数的图象的一个对称中心；②；③这三个条件中选一个补充到下面的横线并作答.

问题：在锐角中，内角所对的边分别为，且______.

(1)求；

(2)求的取值范围.

注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

16．在平面直角坐标系中，为直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为为的中点.

（1）证明轴；

（2）直线是否恒过定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由.

17．在某市举行的一次市质检考试中，为了调查考试试题的有效性以及试卷的区分度，该市教研室随机抽取了参加本次质检考试的100名学生的数学考试成绩，并将其统计如下表所示．

成绩X

[75，85）

[85，95）

[95，105）

[105，115）

[115，125]

人数Y

6

24

42

20

8

(1)已知本次质检中的数学测试成绩，其中μ近似为样本的平均数，近似为样本方差，若该市有5万考生，试估计数学成绩介于90~120分的人数；（以各组的区间的中点值代表该组的取值）

(2)现按分层抽样的方法从成绩在[75，85）以及[115，125]之间的学生中随机抽取7人，再从这7人中随机抽取3人进行试卷分析，记被抽取的3人中成绩在[75，85）之间的人数为X，求X的分布列以及期望E（X）．

参考数据：若，则，，．

18．如图，菱形中，动点在边AD，上（不含端点），且存在实数使，沿EF将向上折起得到，使得平面平面，如图2所示.

(1)若，设三棱锥和四棱锥的体积分别为，，求；

(2)当点E的位置变化时，平面与平面的夹角的余弦值是否为定值，若是，求出该余弦值，若不是，说明理由；若，求四棱锥的外接球半径的最小值.

19．给定正整数，设数列是的一个排列，对表示以为首项的递增子列的最大长度（数列中项的个数叫做数列的长度），表示以为首项的递减子列的最大长度.我们规定：当后面的项没有比大时，，当后面的项没有比小时，.例如数列：，则.，.

(1)若，求和；

(2)求证：；

(3)求的最值.

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