2024-2025学年上海格致中学高一上学期数学期中试卷及答案（2024.11）.docx

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格致中学2024学年第一学期高一年级数学期中

2024.11

一、填空题（本大题共有12题,满分36分,每题3分）

1.根式写成分数指数幂的形式为.

2.函数(是有理数)的图像过一定点,则的坐标为.

3.设集合,集合,则.

4.已知方程的两个根为,则.

5.下列命题中所有真命题的序号是.

(1)是的充分条件;

(2)是的必要条件;

(3)是的充要条件.

6.不等式的解集为.

7.已知,则.

8.若实数,且,则.

9.设是实数,若关于的方程组的解集为,则实数所满足的条件为.

10.已知,若合题对任意,不等式恒成立

是假命题，则实数的取值范围是.

11.若方程有唯一解,则实数的所有可能值所组成的集合为.

12.已知集合,若皮合有15个真子集,则实数的取值范围是.

二、选择题（（每小题4分，满分16分）

13.已知集合,且,则集合中的元素个数为（）.

A.2B.3C.4D.5

14.农业农村部于2021年2月3日发布信息：全国按用主动预防、内外结合、分类施策、有效处置的总体要求，全面排查蝗灾隐患.为了做好蝗虫防控工作，完善应急预案演练，专家假设蝗虫的日增长率为，最初有只，则大约经过（）天能达到最初的1800倍.

A.129B.150C.197D.199

15.不等式,对于任意及恒成立，则实数的取值范围

是（）.

A.B.C.D.

16.设表示不超过的最大整数,若存在实数,使得,同时成立，则正整数的最大值是（）.

A.4B.5C.6D.7

三、解答题：（共4大题，满分44分）

17.（本题满分10分，第（1）题4分，第（2）题6分）

已知幂函数经过点.

（1）求的值:

（2）是否存在实数,使得该函数在区间上的最小值为,最大值为？若存在,求出的值:若不存在,请说明理由.

18、（本题满分12分，第(1)题6分，第（2）题6分）

（1）已知为实数且满足且.求证:这四个数中至少有一个是负数.（用反证法证明）

（2）已知命题,命题.若的充分非必要条件为，求实数的取值范围.

19、（本题满分12分，第（1）题4分，第（2）题4分，第（3）题4分）

已知.

（1）若，求的最小值；

（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围;

（3）若,求的最大值.

20、（本题满分14分，第（1）题5分，第（2）题4分，第（3）题5分）

设为曼哈顿扩张距离,它由个绝对值之和组成，其中为正整数.

（1）若,求实数的取值范围;

（2）若对一切实数恒成立，求实数的取值范围：

（3）是否存在最小值?若存在,求出该最小值与此时实数的取值范围;若不存在，说明理由.

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参考答案

一、填空题

1.;2.;3.;4.;5.（2）（3）;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.

11.若方程有唯一解,则实数的所有可能值所组成的集合为.

【答案】

【解析】由,得,即.

(1)当方程有两个相等的实数根时,,解得,

此时方程的根为,满足题意;

(2)当方程有两个不相等的实数根时,,解得.

若是方程的根，则，

此时方程的另一个根为,不满足题意;

若是方程的根,则,

此时方程的另一个根为,满足题意.

综上所述,实数a的所有可能值所组成的集合为

12.已知集合,若皮合有15个真子集,则实数的取值范围是.

【答案】

【解析】若集合有15个真子集，则中含有4个元素，结合,

可知,即,且区间中含有4个整数,

①当时,的区间长度,

此时中不可能含有4个整数;

②当时,,其中含有共4个整数,符合题意;

③当时,的区间长度大于3,

(i)若的区间长度,即.

若是整数,则区间中含有4个整数,根据,可知,此时,其中含有共4个整数，符合题意.

若不是整数,则区间中含有这4个整数,

则必须且,解得;

（ii）若时,,其中含有、9共5个整数,不符合题意;

（iii）当时,的区间长度,此时中只能含有这4个整数,故,