2024-2025学年上海华二附中高二上学期数学期中试卷及答案（2024.11）.docx

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华二附中2024学年第一学期高二年级数学期中

2024.11

一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）

1.已知球的表面积为,则其体积为.

2.已知向量,若,则.

3.若斜线段在平面内的射影长度为其一半，则此斜线与该平面所成的角的大小为.

4.如图，在空间四边形中，是的重心，若，则.

5.在的二面角的一个半平面内有一点，它到另一个半平面的距离等于1，则点到二面角的棱的距离为.

6.一个与球心距离为的平面截球所得的圆的面积为,则球半径为.

7.如图，在底面是正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱中，，点在棱上,且,则直线与平面所成角的余弦值为.

8.正六棱柱六个侧面的12条面对角线中与AB异面的有条

9.平面平面,点,点,直线相交于点,已知,

，则.

10.如图，有一底面半径为1，高为2的圆柱.光源点沿着上底面圆周作匀速运动，射出的光线始终经过圆柱轴截面的中心.当光源点沿着上底面圆周运动半周时，其射出的光线在圆柱内部扫过的面积为.

11.如图，将绘有函数部分图像的纸片沿轴折成钝二面角,夹角为,此时之间的距离为,则.

12.在三棱锥中,已知,则.

二、选择题（13-14每题4分,15-16每题5分）

13、设与是不共面的向量，则下列向量中共面的是（）.

A.B.C.D.

14.已知三条直线，其中异面，则是异面的（）.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

15.水平放置的的直观图如图，其中，那么原是一个（）.

A.直角三角形

B.等边三角形

C.三边中只有两边相等的等腰三角形

D.三边互不相等的三角形

16.如图：在长方体中，.质点从顶点射向点，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将第次到第次反射点之间的线段记为，则线段的长度关系为（）.

A.B.

C.D.

三、解答题（本大题满分78分）

17.(满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.

给定空间三点.

（1）求以向量为一组邻边的平行四边形的面积；

（2）若向量与向量都垂直，其中为坐标原点，且，求向量的坐标.

18.(满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.

如图所示，已知和分别是异面直线和上的任意不同的三点，分别是的中点。

求证：（1）三点能确定一个平面

（2）四点共面.

19.(满分14分)本题共有3个小题,第1小题4分,第2小题4分,第3小题6分.

我们生活中常以多少毫米降雨量来描述雨势的大小，例如：降雨量10毫米的实际意义为本次降雨过程每平方米的平均水深为10毫米，为小雨.这种计量方式源远流长，南宋数学家秦九韶在《数书九章》中记有天池测雨一题：今州郡都有天池盆，以测雨水.但知以盆中之水为得雨之数.不知器形不同，则受雨多少亦异，未可以所测，便为平地得雨之数.假令盆口径二尺八寸，底径一尺二寸，深一尺八寸，接雨水深九寸，欲求平地雨降几何？

（1）试说明秦九韶认为不能直接用盆里的水深来代替平地水深的原因；

（2）该盆的容积为多少立方寸；（注：径指的是直径；盆视为一个圆台，一尺等于十寸）

（3）题中记载八百年前的这次降雨过程折算到现代为多少毫米的降雨量（精确到1毫米，宋代一寸约为现代31.2毫米）

20．（本题满分18分）（本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）．

如图，已知两个正四棱锥与的高分别为1和.

（1）证明：平面;

（2）求异面直线与所成的角;

（3）到平面的距离

21．（本题满分18分）（本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）．

如图，已知正方体内接于球，且球的半径为分别是上的动点,

（1）求正方体的棱长;

（2）求的最小值;

（3）若平面与平面所成二面角的大小为，平面与平面所成

二面角的大小为,试求的最小值,及此时点的位置.

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华二附中2024学年第一学期高二年级数学期中

2024.11

一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）

1.已知球的表面积为,则其体积为.

【答案】

2.已知向量,若,则