上海交通大学附属中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷.docx

2024-2025学年第一学期高二数学期末试卷

（本试卷共4页，满分160分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上）

考试说明：试卷最后的挑战题为非必答题，分值10分

一、填空题.（本题共12小题，前6题每小题4分；后6题每小题5分，共54分.请在横线上方填写最终的、最简的、完整的结果）

1.已知数列的前n项和，那么的值为_____.

2.椭圆的焦距为_____.

3.若圆锥的底面半径与高均为2，则其侧面积为_____.

4.将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，此时点与原点重合，则的值是_____.

5.已知直线的倾斜角为，则的余弦的值为_____.

6.一种卫星接收天线（如下图左所示）曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如下图右所示）.已知接收天线的口径（直径）为4米，深度为0.5米，则该抛物线的焦点到顶点的距离为_____米.

7.向量，的夹角_____.

8.已知，函数，有最小值.则的最大值为_____.

9.如图，在平行六面体中，，，若M为中点，则_____.

10.平行直线与间的距离为_____.

11.已知F是双曲线的右焦点，动点P在双曲线的左支上，点Q为圆上一动点，则的最小值为_____.

12.已知实系数一元二次方程的两个根、满足，，其中i是虚数单位，则的取值范围是_____.

二、选择题（本题共4小题，前2题每小题4分；后2题每小题5分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请填写符合要求的选项前的代号）

13.已知，则“”是“”的（）

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件

14.直线绕原点按顺时针方向旋转后所得的直线l与圆的位置关系是（）

A.直线l过圆心 B.直线l与圆相交，但不过圆心

C.直线l与圆相切 D.直线l与圆无公共点

15.设，则双曲线的离心率e的取值范围是（）

A. B. C. D.

16.已知，把函数的图像向左平移个单位长度，得到的函数图像恰好关于y轴对称.定义：为符合的所有x的和，则的值为（）

A. B. C.62 D.66

三、解答题.（本大题共5小题，满分78分.请写出必要的证明过程或演算步骤）

17.本题满分14分，第（1）题满分6分，第（2）题满分8分

已知.

（1）当函数的最小正周期为时，求在上的最大值；

（2）若，且在中，角A、B、C所对的边长为a、b、c，锐角A满足，，求a的最小值.

18.本题满分14分，第（1）题满分10分，第（2）题满分4分

如图，在直棱柱中，，，D、E、F分别是、、的中点.

（1）求AE与平面所成角的大小；

（2）求A到平面的距离.

19.本题满分14分，第（1）题满分7分，第（2）题满分7分

如图，半球内有一内接正四棱柱（即正四棱柱的一个面在半球的底面圆上，其余顶点在半球面上）.

（1）若正四棱柱的各棱长均为（即为正方体）.求半球的表面积和体积；

（2）若半球的底面圆的半径为10，求正四棱柱表面积的最大值.

20.本题满分18分，第（1）题满分4分，第（2）题满分6分，第（3）题满分8分

已知椭圆的离心率，左顶点为A，下顶点为B，C是线段的中点，其中.

（1）求椭圆方程；

（2）记椭圆的左右焦点分别为、，M为椭圆上的点，若的面积为，的面积为，若，求的取值范围；

（3）过点的动直线与椭圆有两个交点P、Q，在y轴上是否存在点T使得恒成立.若存在，求出这个T点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由.

21.本题满分18分，第（1）题满分4分，第（2）题满分6分，第（3）题满分8分，第（4）题为挑战题，满足10分.

已知函数的定义域为R.定义：若存在实数a、b（）使得对任意恒成立，则称函数具有性质.

（1）幂函数是否具有性质，说明理由；

（2）设，若函数具有性质，求实数a的取值范围；

（3）设，集合函数具有性质，求集合M在坐标平面上的对应的区域的面积.

（4）（挑战题）设，集合函数具有性质.为集合M在坐标平面上对应的区域边界上的点，且Q不在x轴上，求的最小值.

上海交通大学附属中学2024-2025学年第一学期

高二数学期末考试数学试卷

（本试卷共4页，满分160分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上）

一、填空题.（本题共12小题，前6题每小题4分；后6题每小题5分，共54分.请在横线上方填写最终的、最简的、完整的结果）

1.【详解】易得.

2.【详解】，所以，焦距为2.

3.【详解】，又.

4.【详解】.

5.【详解】，又，所以.

6.【详解】建系，设抛物线的方程为，过点，

所以，所以拋物线的焦点到顶点的距离为2米.

7.【详解】，故.

8.【详解】由题意可得，，

故，，