2024-2025学年北京昌平区高二上学期期末质量抽测数学试卷含答案.docx

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昌平区2024－2025学年第一学期高二年级期末质量抽测

数学试卷2025.1

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡收回。

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知，，若，则

（A）（B）（C）（D）

（2）已知直线，则直线的倾斜角的正切值为

（A）（B）（C）（D）

（3）在的展开式中，的系数为

（A）（B）（C）（D）

（4）以，为直径的两个端点的圆的方程为

（A）（B）

（C）（D）

（5）已知四面体中，设，，，为的中点，为的中点，则用向量可表示为

（A）（B）（C）（D）

（6）曲线与曲线（）的

（A）长轴长相等（B）短轴长相等（C）焦距相等（D）离心率相等

（7）有3位男生和2位女生站成一排拍照，要求2位女生不能相邻，不同的站法共有

（A）种（B）种（C）种（D）种

（8）“”是“坐标原点在圆的外部”的

（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件

（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件

（9）在中国古代数学经典著作《九章算术》中，称图中的多面体为“刍（chu）甍（meng）”.若底面是边长为的正方形，，且，和是等腰三角形，，则该刍甍的高（即点到底面的距离）为

（A）（B）

（C）（D）

（10）已知集合，对于实数，集合且满足,则

（A）（B）（C）（D）

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

(11)已知直线与直线垂直，则实数的值为.

(12)已知双曲线，则其渐近线方程为；过的右焦点作圆的切线，切点为,则_______．

(13)在正方体中,直线与所成角的大小为.

(14)已知抛物线的焦点为，准线为.则焦点到准线的距离为；

若点在抛物线上，过点作准线的垂线，垂足为，，则的最小值为.

（15）已知曲线.关于曲线的几何性质，给出下列四个结论：

①曲线关于原点对称；

②曲线围成的区域（不含边界）内恰好有8个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；

③曲线围成区域的面积大于8；

=4\*GB3④曲线上任意一点到原点的距离都不小于．

其中正确结论的序号是.

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（16）（本小题13分）

已知的三个顶点的坐标分别为，，．

（Ⅰ）设为的中点，求直线的方程；

（Ⅱ）求的面积．

(17)（本小题13分）

设，求：

（Ⅰ）；

（Ⅱ）；

（Ⅲ）.

(18)（本小题14分）

如图，在棱长为的正方体中，为的中点,与平面交于点.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）求点到平面的距离.

(19)（本小题15分）

已知圆.

（Ⅰ）过点的直线与圆交于两点，当时，求直线的方程；

（Ⅱ）判断直线与圆的位置关系，并说明理由.

(20)（本小题15分）

如图，在四棱柱中，侧面是边长为的正方形，平面平面,，，为的中点，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知.

条件①：；

条件②：.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值；

（Ⅲ）已知点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

(21)（本小题15分）

已知椭圆的短轴长为，是的右焦点，是的下顶点，且.过点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于两点（不与点重合），过点作直线的垂线，垂足为.

（Ⅰ）求椭圆的方程和离心率；

（Ⅱ）判断在轴上是否存在定点，使得的长度为定值？若存在，求出点的坐标和的长度；若不存在，请说明理由.

（考生务