数值分析课件第10章常微分方法的数值解法 Euler 方法.pptVIP

第十章常微分方程数值解法

第十章常微分方法的数值解法

----10.2Euler方法

10.2.1Euler方法及其有关的方法

10.2.2局部误差和方法的阶

第十章常微分方程数值解法

第10章常微分方法的数值解法

教学目的

1.掌握解常微分方程的单步法：Euler方法、

Taylor方法和Runge-Kutta方法；

2.掌握解常微分方程的多步法：Adams步法、

Simpson方法和Milne方法等；

3.了解单步法的收敛性、相容性与稳定性；多步

法的稳定性。

教学重点及难点

重点是解常微分方程的单步法：Euler方法、

Taylor方法和Runge-Kutta方法和解常微分方程的

多步法：Adams步法、Simpson方法和Milne方法等；

难点是理解单步法的收敛性、相容性与稳定性及多

步法的稳定性。

第十章常微分方程数值解法

1基本概念

包含自变量、未知函数及未知函数的导数或微分的方

程称为微分方程。在微分方程中,自变量的个数只有一个,

称为常微分方程.。自变量的个数为两个或两个以上的微分

方程叫偏微分方程。微分方程中出现的未知函数最高阶导

数的阶数称为微分方程的阶数。如果未知函数y及其各阶

导数

y,y,,y(n)

都是一次的,则称它是线性的,否则称为非线性的。

第十章常微分方程数值解法

在高等数学中，对于常微分方程的求解，给出了一些典

型方程求解析解的基本方法，如可分离变量法、常系数齐次

线性方程的解法、常系数非齐次线性方程的解法等。但能求

解的常微分方程仍然是有限的，大多数的常微分方程是不可

能给出解析解。譬如

yx2y2

这个一阶微分方程就不能用初等函数及其积分来表达

它的解。

第十章常微分方程数值解法

再如，方程

yy



y(0)1

x

的解ye,虽然有表可查,但对于表上没有给出的ex

值,仍需插值方法来计算.

大多数情况下，常微分方程只能用近似方法求解。

这种近似解法可分为两大类：一类是近似解析法，如级

数解法、逐次逼近法等；另一类是数值解法，它给出方

程在一些离散点上的近似值。

第十章常微分方程数值解法

在具体求解微分方程时，需具备某种定解条件，微分方

程和定解条件合在一起组成定解问题。

定解条件有两种：一种是给出积分曲线在初始点的状态，

称为初始条件，相应的定解问题称为初值问题。

另一类是给出积分曲线首尾两端的状态，称为边界条件，

相应的定解问题称为边值问题。

第十章常微分方程数值解法

例如：弹簧一质量系统的振动问题mx

经一定的简化后可用一个二阶常微x

2

分方程dxcco

xo来描述。

dt2m

其中x是质量，m是离开平衡位o的距离，t为时间，c为弹簧系数。

当弹簧在振动开始时刻时的初始位置和初始

tt0xt0x0

速度dx都确定时，弹簧振动规律唯一确定。

x(t0)x0x(t)

dt

tt0d2xc